تَرْبیعِ دایِره، یکی از مسائل دیرین هندسی. به زبان امروزی، مسئلۀ تربیع دایره یافتنِ رابطه‌ای است برای مساحت دایره برحسب قطر یا شعاع آن، اما در نظر ریاضی‌دانان یونانی که مساحت هر شکل را معمولاً بر حسب مساحت شکلِ داده‌شده‌ای بیان می‌کردند، تربیع دایره عبارت بود از یافتن مربعی که مساحت آن مساوی با مساحت دایرۀ مفروضی باشد. گذشته از این، ریاضی‌دانان یونانی، دست کم تا قرن 4ق‌م می‌خواستند این مسئله را تنها با استفاده از خط‌کش و پرگار حل کنند. به این

اعتبار، تربیع دایره، در کنار تثلیث زاویه (ه‌ م) و تضعیف مکعب (ه‌ م)، از مسائل «لاینحلِ» ریاضیات قدیم محسوب می‌شد. اما برخلاف آن دو مسئله، تربیع دایره تنها موضوع بحث ریاضی‌دانان نبوده، بلکه فلاسفه نیز از آن سخن گفته‌اند. گذشته از این، مسئلۀ تربیع دایره با یافتنِ نسبتِ محیط دایره به قطر آن (یعنی عدد π) نیز ارتباط دارد.
ریاضی‌دانان‌ یونانیِ قرنهای 5 و4ق‌م، از 3 راه برای تربیع دایره کوشیده‌اند. یکی از این 3 راه به بروسون فرزند هِرُدُروسِ هِراکْلِئایی منسوب است که تاریخ زندگی‌اش معلوم نیست، اما احتمالاً معاصرِ افلاطون بوده است. دیگری راه حلِ بقراط خیوسی ریاضی‌دانِ قرن 5ق‌م است. راه حل سوم از آنتیفون سوفسطایی (همان‌قرن) است که دربارۀ او نیز اطلاع اندکی داریم. اوتوکیوس عسقلانی در شرح خود بر «تکسیر دایرۀ» ارشمیدش، از کسانی که پیش از ارشمیدس سعی در تربیع دایره داشته‌اند ــ و ازجمله از بقراط خیوسی و آنتیفون ــ نام برده است (ص 699-700).
اطلاع ما از این 3 راه حل عمدتاً از راه بحثهایی است که در آثار ارسطو و شارحان او و فیلسوفان اسلامی دربارۀ آنها شده است؛ زیرا از همان آغاز به نظر می‌آمد که دست کم مشکل برخی از این 3 راه حل بیش از آنکه هندسی باشد، فلسفی است. ارسطو می‌گوید که هرچند رد تربیع دایره از راه استفاده از «پاره‌ها» کار هندسه‌دانان است، اما رد استدلال آنتیفون کار ایشان نیست و تلویحاً دلیل این امر را این می‌داند که در این استدلال از مقدمات طبیعی استفاده شده است (ارسطو، فیزیک، گ 185 a، سطرهای 14-20). عموماً منظور ارسطو از تربیع دایره با استفاده از پاره‌ها را همان استدلال بقراط خیوسی می‌دانند (هیث، «تاریخ...1»، II/221؛ فارابی، 343/1)، اما، چنان‌که خواهیم دید، فیلسوفان دربارۀ این راه حل نیز بحث کرده‌اند.
ارسطو در «تحلیلهای دومین2» (گ 75 b، سطر 37) و «رد بر سفسطه‌گران3» (گ 171 b، سطر 16 ـ گ 172 a، سطر 4) به راه حل بروسون ــ که در جای دیگری او را سوفسطایی خوانده («تاریخ جانوران4»، گ 563 a، سطـر7، گ 615 a، سطـر 10) ــ اشاره کرده است. وی وارد جزئیات اثبات بروسون نمی‌شود، بلکه بر او ایراد می‌گیرد که این قضیه را بر مبنای مقدمات بیش از اندازه کلی اثبات کرده است؛ به این معنی که مقدماتی که در اثبات خود به کار برده، اختصاص به هندسه نداشته است، در حالی که به نظر ارسطو، «نمی‌توان چیزی را جز از روی مبانی ]خاص[ آن ثابت کرد». منظور ارسطو از این تذکرْ درست روشن نیست. احتمالاً او مقدمات استدلال بروسون را واجد دیگر شرایطی که مقدمات برهان باید داشته باشند، می‌دانسته است و

تنها به این سبب بر او ایراد گرفته که مقدماتی که به کار برده، مختص هندسه نبوده است.
اجمال سخن ارسطو باعث شده است که مفسرانِ او و فلاسفۀ دیگر در این‌باره بسط سخن دهند. فارابی مقدماتی را که بروسون به کار برده بوده، غیر ذاتی و کلی دانسته، و از این‌رو، بیان او را «جدلی» شمرده، و گفته است که هندسه‌دانان به این‌گونه بیانها توجهی ندارند (همانجا؛ قس ابن زرعه، 237- 238؛ نصیرالدین، اساس...، 407- 408).
ابن‌سینا نیز، در سفسطۀ شفا (ص 57) به برهان بروسون اشاره کرده، و آن را به این دلیل که در آن از مقدمات «خارجی غیر مناسب» استفاده شده، «قیاس خارجی جدلی» خوانده و گفته است که در کتاب برهانِ شفا نیز از این موضوع سخن گفته است. وی از راه حل آنتیفون نیز در حل این مسئله یاد کرده، و آن را نیز به این دلیل که در آن از مقدمات خارجی استفاده شده، نادرست شمرده است.
با این حال، ابن‌ سینا در کتاب برهانِ شفا، راه دیگری برای اثبات نادرستیِ استدلال بروسون عرضه می‌کند. وی نخست، منظور ارسطو را توضیح می‌دهد و می‌گوید که هرچند شاید قیاسی که بروسون برای تربیع دایره آورده، بر مقدمات صادق و بدیهی و کلی استوار بوده، اما برهان هندسی محسوب نمی‌شده است، زیرا این مقدمات «مناسب» نبوده‌اند. به نظر ابن‌ سینا، بروسون چنین استدلال کرده بوده است که دایره را مثلاً می‌توان به مثلثهایی تجزیه کرد و می‌توان مربعی مساوی با هریک از این مثلثها پیدا کرد. بنابراین، مربعی می‌توان یافت که مساوی مجموع این مثلثها باشد، و این مربع مساوی با دایره خواهد بود. به گفتۀ ابن‌ سینا، بروسون در توضیح منظور خود 3 مقدمه آورده بوده است: 1. دایره از هر چندضلعی محاط در آن بزرگ‌تر است؛ 2. دایره از هر چندضلعی محیط بر آن کوچک‌تر است؛ 3. پس دایره مساوی با شکلی است که از هر چندضلعیِ محیط بر آن کوچک‌تر و از هر چندضلعیِ محاط در آن بزرگ‌تر باشد. بنابراین، چندضلعی‌ای مساوی با دایره یافت می‌شود.
1. A History... 2. Analytica... 3. Sophistici... 4. Historia...
ابن‌سینا تلویحاً اشکال ارسطو را ــ که خود او نیز در کتاب سفسطۀ‌ شفا به‌اجمال تقریر کرده است ــ وارد نمی‌داند، زیرا به‌ نظر او مقدماتی که بروسون در برهان خود به کار برده، به‌خصوص مقدمۀ سوم، هرچند اختصاصی به مقادیر (یعنی کمّ متصل) ندارد، اما به جنس مقادیر (یعنی کمّ) مختص است و کاربردِ این‌گونه مقدمات در علوم اشکالی ندارد. از جملۀ این‌گونه مقدمات، ابن‌سینا به اصل پنجم از علوم متعارف هندسۀ اقلیدسی (کل از جزء بزرگ‌تر است) اشاره می‌کند که هم در مورد کمّ

متصل صادق است و هم در مورد کمّ منفصل؛ و نتیجه می‌گیرد که «مبادی‌ای که در علوم جزئی به کار می‌رود، منحصر به مبادی‌ای نیست که محمولات آنها به موضوعات آن علوم اختصاص داشته باشد، بلکه محمولاتی نیز که مختص جنسهای آن موضوعات است، در این علوم به کار می‌رود». با این حال، در این کاربرد، باید نقل از عموم به‌خصوص کرد، یعنی مقدمه‌ای را که مثلاً هم در مورد اعداد و هم در مورد مقادیر صادق است، باید یک‌بار با تصریح به اعداد و بار دیگر با تصریح به مقادیر بیان کرد (در این مورد، قس: الشفاء، طبیعیات، السماء والعالم، 41-49). به نظر ابن‌ سینا، این مقدمه با تصریح به اینکه کاربرد آن در مورد «مقادیر» است، درست می‌شود. اما اشکال استدلال به این صورت از میان نمی‌رود؛ زیرا هر حالتِ متناهی (یعنی هر دو چندضلعی محیطی و محاطی واقعی) را که در نظر بگیریم، بین آنها بی‌نهایت چندضلعی وجود دارد که از یکی بزرگ‌تر و از دیگری کوچک‌ترند. از این‌رو، دو اشکال دیگر بر استدلال بروسون وارد می‌شود. یکی در خـود استدلال است که در آن
ــ ناگفته ــ از مفاهیم قوه و فعل استفاده شده است. در حالی که این مفاهیم نه از عوارض ذاتیِ مقادیر و اشکال است و نه از عوارض ذاتیِ جنسِ کم، بلکه از عوارض ذاتیِ موجود است؛ و کاربرد آنها در علوم دیگر در صورتی مجاز است که اشیائی که این علوم از آنها سخن می‌گویند، بتوانند وجودِ بالقوه و بالفعل داشته باشند، مانند اموری که پذیرای تغییر و حرکت‌اند. در حالی که شکلهای هندسیْ مجرد از ماده فرض می‌شوند و در وهم و عقل به آنها به عنوان امور موجود، و نه بالقوه، اشاره می‌شود.
اشکالی هم که بر نتیجۀ این استدلال وارد می‌شود این است که ضلع مربعی که، بنا بر استدلال بروسون، معادل دایره است، قابل اشارۀ بالفعل نیست، بلکه وجود بالقوه دارد. ابن ‌سینا با این استدلالِ بدیع نتیجه می‌گیرد که استدلال بروسون هندسی نیست، بلکه جدلی یا منطقی است و از این‌رو ست که «خارجی» به‌شمار می‌آید ( الشفاء، برهان، 174-177).
استدلال بقراط خیوسی (ه‌ م) برای تربیع دایره با استدلال بروسون متفاوت بوده است. ظاهراً بقراط چون به تربیع برخی از هلال‌واره‌ها، یعنی برخی از اشکالی که به خطوط مستقیم و کمان یا کمانهایی از دایره محصورند، موفق شده بوده است، و چون هلال‌واره‌ها بخشهایی از دایره‌اند، دایره را نیز قابل تربیع شمرده بوده است (فارابی، همانجا). استدلال بقراط در تربیع هلال‌واره‌ها از طریق سیمپلیکوس به دست ما رسیده است و او نیز آن را از یکی از آثار گمشدۀ اسکندر افرودیسی نقل کرده است («فرهنگ...1»، VI/411-412). بقراط در تربیع هلال‌واره‌ها از این قضیه استفاده کرده بوده است که نسبت مساحت دو مثلث مثل نسبت مربع شعاعهای آنها ست، اما ظاهراً اثبات دقیق این قضیه را نمی‌شناخته، زیرا این اثبات را که در قضیۀ دوم از مقالۀ دوازدهم اصول اقلیدس آمده، نخستین‌بار اِئودُکْسوس پس از بقراط عرضه کرده است (کنور، 76).
ابن ‌سینا در قیاسِ شفا، آنجا که دربارۀ استقرا سخن می‌گوید، بدون تصریح به نام بقراط خیوسی این استدلال را مثال می‌آورد و آن را نمونۀ استدلالی می‌شمارد که به نظر می‌آید در آن از استقرا استفاده شده است، درحالی که چنین نیست. به نظر ابن‌ سینا این استدلال بر دو مقدمه استوار بوده است: 1. دایره مساوی مجموعه‌ای از شکلهای مستقیم‌الخط است؛ 2. هرچه مساوی شکلهایی مستقیم‌الخط باشد، قابل تربیع است؛ پس دایره قابل تربیع است. اما این دو مقدمه بدیهی‌اند، زیرا می‌توان دایره را به شکلهای هلالی تقسیم کرد و هریک از این شکلهای هلالی مساوی مربعی است، پس دایره مساوی مربعی است.
به نظر ابن ‌سینا دو چیز می‌تواند این استدلال را از لحاظ استقرایی بی‌اعتبار کند. یکی اینکه دایره به تمامی به شکلهای هلالی تجزیه نمی‌شود و شکلی غیر هلالی از آن باقی می‌ماند. ابن ‌سینا می‌گوید: این اشکال با تعریف استقرا ناسازگار نیست، زیرا استقرا با در نظر گرفتنِ بیشتر موارد تمام می‌شود، هرچند از مواردی غفلت شده باشد. با این حال، ابن‌ سینا می‌گوید: «استقراکننده» که احتمالاً در این مورد همان بقراط خیوسی است، مدعی بوده که همۀ موارد را در نظر گرفته است.
ایراد مهم‌تری که ابن ‌سینا بر استقرایی بودنِ این برهان می‌گیرد، این است که استقرا روی جزئیاتی که تحت یک کلی قرار می‌گیرند، انجام می‌پذیرد؛ در حالی که نسبت هلال‌واره‌ها به دایره مثل نسبت جزء به کل است، نه نسبت جزئی به کلی؛ یعنی هلال‌واره‌ها اجزاء دایره‌اند، نه دایره‌هایی که تحت نوع کلیِ دایره قرار بگیرند ( الشفاء، قیاس، 567). ابن‌ سینا در جای دیگری هم راه حل بقراط را شرح داده، و آن را به این دلیل که «دایره را نمی‌توان به هلال‌واره‌ها تقسیم کرد»، نادرست شمرده است (همان، سفسطه، 58).
1. Dictionary of...
راه حل آنتیفون برای تربیع دایره با دو راه حل دیگر متفاوت بوده است و هیث آن را در تکوین راه‌حل ارشمیدسی تربیع دایره و محاسبۀ عدد π مؤثر شمرده است (نک‌ : «تاریخ»، II/221-223). ظاهراً وی بر این اعتقاد بوده است که اگر مربعی را در دایره محاط کنیم و سپس وسطهای کمان متناظر به هر ضلع مربع را به دو سر آن کمان وصل کنیم و این کار را به اندازۀ کافی ادامه دهیم، به جایی می‌رسیم که اضلاع چندضلعی منتظمی که از این راه به دست می‌آید، به اندازه‌ای کوچک می‌شوند که بر دایره منطبق می‌گردند و میان دایره و چندضلعی منتظم تفاوتی باقی

نمی‌ماند(«فرهنگ»،I/171) و چون هر چندضلعی منتظم تربیع‌پذیر است، پس دایره نیز تربیع‌پذیر است. گویا وی در این اعتقاد متأثر از پروتاگوراس سوفسطایی بوده که معتقد بوده است خطِ مماس بر دایره آن را در یک نقطه قطع نمی‌کند بلکه، همان‌طور که به‌چشم می‌بینیم، دایره و خط مماس چندین نقطۀ مشترک دارند. شاید نیز آنتیفون از اتمیستها که به نقطۀ هندسی قائل نبودند و فی‌المثل‌ سطح ‌خارجی مخروط ‌را متشکل ‌از اجزاء لایتجزى و بنابراین، پله‌پله می‌دانستند، متأثر بوده است. حتى حدس زده مـی‌شود که دموکریتوس‌فرمولهای حجم‌مخروط و هرم را ــ که ارشمیدس در رسالۀ «روش...»، کشف آنها را از او دانسته است (ص 479) ــ از این راه به دست آورده باشد («فرهنگ»، IV/34).
در دوران اسلامی، تنها ریاضی‌دان بزرگی که تربیع دایره را ممکن شمرده، ابن ‌هیثم است. رسالۀ او به‌نام قول فی تربیع‌الدائره، اگر از روی شمار نسخ موجود آن داوری کنیم، بیش از هر اثر او استنساخ شده است (راشد، «ریاضیات...1»، II/23) و در بسیاری از مجموعه‌های «کتب متوسطات» نسخه‌ای از این رساله نیز موجود است (همان، II/34). ابن هیثم این رساله را در جریان پژوهشهای خود دربارۀ هلال‌واره‌ها و پس از فی الهلالیات و پیش از مقالة مستقصاة فی الاشکال الهلالیة نوشته است. استدلال ابن هیثم بر این پایه است که دایره و مربع دو کمیتِ (مقدارِ) همجنس‌اند و بنابراین میان آنها نسبتی ‌هست. ابن ‌هیثم سعی می‌کند که مقدار این نسبت را به دست ‌آورد، اما استدلال او دوری است، به این معنی که ترسیمی‌که وی از آن سخن می‌گوید، به شناخت مقداری وابسته است که خود آن تابعی از π است. با این حال، این رساله را می‌توان بیشتر به فلسفۀ ریاضی متعلق شمرد و محتوای آن را تأملی در رابطۀ میان وجود موجودات هندسی و ترسیم‌پذیر بودن آنها دانست. در یادداشتی کـه در پایان برخـی از نسخ این رساله موجود است ــ و از ابن رضوان مصری یا از ریاضی‌دانی به نام سُمَیساطی است ــ از ابن هیثم به همین سبب انتقاد شده است که اثبات وجود چیزی مسئلۀ ترسیم‌پذیری آن را حل نمی‌کند (همان، II/36).
1. Les Mathématiques…
اگر تربیع دایره را به معنای یافتن فرمولی برای مساحت دایره بگیریم، تاریخ این مسئله بسیار قدیم است. این اندیشه که نسبت محیط دایره به قطر آن مقدار ثابتی است، بسیار کهن است. در برخی از آیات تورات، این نسبت تلویحاً 3 فرض شده است، در نخستین متن ریاضیات چینی ــ که به احتمال زیاد در قرن 8 ق‌م نوشته شده ــ برای این نسبت همین مقدار آمده است (هو پنگ یوک، 59-62). اما اقوام دیگر مقدار این نسبت را دقیق‌تر می‌شناختند. هرچند دلیلی در دست نیست که مصریان باستان در ساختن اهرام از مقدار دقیقی برای π استفاده کرده باشند (بویر، 11)، با این حال، از متونی که از نیمۀ هزارۀ دوم پیش از میلاد به دست ما رسیده است، معلوم می‌شود که ریاضی‌دانان مصری و بین‌النهرینی و ایرانی مقادیر دقیق‌تری برای π می‌شناخته‌اند. در پاپیروس مصری «اَحمِس»، که تاریخ آن در حدود 1650ق‌م است، مقدار π برابر با اختیار شده است (همو، 17). در میان الواحی که باستان‌شناسان فرانسوی در 1936م در شوش کشف کردند، جدولی هست که در آن مقادیر ثابت مربوط به چندضلعیهای منتظم درج شده است. از مقایسۀ مقادیری که در این جدول برای محیط شش‌ضلعی منتظم و دایره داده شده با رابطۀ مقدار تقریبی به دست می‌آید (نویگباوئر، 64). همچنین ریاضی‌دانان چینی نیز از حدود قرن 1م مقادیر دقیق‌تری برای π به کار برده‌اند. در «نُه فصل در فن ریاضی» که در اوایل دوران میلادی تألیف شده، و یکی از مهم‌ترین متون ریاضیات چینی است، مقدار 14/3=π آمده است (هو پنگ یوک، 63)؛ تسو چونگ چیه (430-501م) مقدار 14/3=π را غیردقیق دانسته، و به جای آن مقدار را پیشنهاد کرده که بسیار دقیق‌تر است (بویر، 202).
به‌رغم نظر هیث، کوششهای کسانی چون آنتیفون در حل مسئلۀ تربیع دایره در یافتن فرمولی برای مساحت دایره تأثیر مستقیم نداشته است. در واقع نخستین فرمول دقیق برای مساحت دایره در قضیۀ دوم از مقالۀ دوازدهم اصول اقلیدس (III/371-373) آمده است. در این قضیه ثابت می‌شود که نسبت مساحت دو دایره مثل نسبت مربعهای قطرهای آنها ست. در این اثبات از قضیۀ اول از مقالۀ دهم (III/14-17) استفاده شده است که می‌گوید: اگر دو مقدارِ مساوی داشته باشیم و از مقدار بزرگ‌تر بیش از نیم آن را برداریم و از باقی‌مانده نیز بیش از نیم آن را برداریم و این کار را به اندازۀ کافی ادامه دهیم، سرانجام به جایی می‌رسیم که باقی‌مانده از مقدار کوچک‌تر کمتر خواهد بود.
با این حال، اثری که در محاسبۀ مساحت دایره بیشترین تأثیر را داشته، رسالۀ «تکسیر دایرۀ» ارشمیدس است که به اعتقاد برخی از مورخان بخشی از یک رسالۀ بزرگ‌تر بوده که به صورت اصلی خود باقی نمانده است (هیث، «تاریخ»، II/50). اوتوکیوس در شرح خود بر این رساله، هدف ارشمیدس را از تألیف آن حل مسئلۀ کهن تربیع دایره می‌داند. وی می‌نویسد: «ارشمیدس درواقع خواسته است ثابت کند که سطحِ هم‌ارز با دایره چیست، و این چیزی است که مدتها پیش از او فیلسوفان معروف در پی اثبات آن بوده‌اند. زیرا پیدا ست که بقراط خیوسی و آنتیفون در پی همین بودند، اما بعد از پژوهشهای دقیق به مغالطه‌هایی که خوب می‌شناسیم... رسیدند» (ص 699).
این رساله شامل 3 قضیه است:

در قضیۀ اول، ارشمیدس ثابت می‌کند که مساحت دایره مساوی با مساحت مثلث قائم‌الزاویه‌ای است که یک ضلع مجاور به زاویۀ قائمۀ آن مساوی با محیط دایره و ضلع دیگر مساوی با شعاع دایره باشد (ور اکه، II/127-128؛ هیث، یادداشتها، 91-93). روش ارشمیدس در اثبات این قضیه کاملاً غیرمستقیم است. وی با محاط کردن و محیط کردن چندضلعیهای منتظمی در دایره و بر دایره، و با استفاده از روشِ افنا، ثابت می‌کند که فرض اینکه مساحت دایره از مساحت مثلث بیشتر یا کمتر باشد، به تناقض می‌انجامد و بنابراین، نتیجه می‌گیرد که این دو مساحت مساوی‌اند.
در قضیۀ دوم، ثابت می‌شود که نسبت مساحت دایره به مربع قطر آن مثل نسبت 11 به 14 است (ور اکه، II/128؛ هیث، همان، 93).
در قضیۀ سوم، ثابت می‌شود که نسبت محیط دایره به قطر آن از کوچک‌تر و از بزرگ‌تر است. به عبارت دیگر، اگر قطر دایره را به d و محیط آن را به l نمایش بدهیم، . امروزه مقدار را به π نمایش‌می‌دهیم. در قضیۀ سوم، ارشمیدس برای محاسبۀ تقریبی این مقدار، نخست ثابت می‌کند که هرگاه An، ضلعِ n ضلعیِ محیط بر دایره، و an، ضلعِ n ضلعیِ محاط در دایره، معلوم باشد، A2n وa2n را می‌توان محاسبه کرد. آن‌گاه با معلوم بودن a6=R و ، مقادیرa12 وA12 را برحسب R (شعاع‌دایره) محاسبه می‌کند و این کار را تا a96 و A96 ادامه می‌دهد و آن‌گاه با استفاده از اینکه محیط دایره (l) از محیط 96 ضلعیِ منتظمِ محیطی کوچک‌تر و از محیط 96 ضلعیِ منتظمِ محاطی بزرگ‌تر است (=π<C96=96A96 c96=96a96<)، رابطۀ =π< < را به دست می‌آورد. از این رابطه مقدار 14/3=π به‌دست می‌آید (ور اکه، II/130-134؛ هیث،همان،93-98).
به نظر می‌آید که میان قضیۀ اول «تکسیر دایره» و قضیۀ بیستم رسالۀ «دربارۀ مارپیچ» ارتباطی وجود داشته باشد. در این قضیه ارشمیدس روشی برای به دست آوردنِ طولی برابر با محیط دایره پیشنهاد می‌کند. این روش به زبان امروزی چنین است: هرگاه در مختصات قطبی در نقطۀ θ=2π بر مارپیچ به معادلۀ ρ=aθ مماسی رسم کنیم تا خط عمود بر محور قطبی را در نقطۀ A قطع کند، طول OA برابر است با 2πa، یعنی محیط دایره‌ای به شعاع a . می‌توان گفت که در قضیۀ اولِ «تکسیر دایره»، مسئلۀ تربیع دایره به پیدا کردنِ طولی مساوی با محیط دایره منجر می‌شود و قضیۀ بیستمِ «دربارۀ مارپیچ» راهی برای رسم این طول به دست می‌دهد. ارشمیدس در نامۀ خود به دُزیتِئوس (ور اکه، I/242؛ هیث، همان، 151) از این قضیه نام برده، و اوتوکیوس هم به ارتباط آن با تکسیر دایره اشاره کرده است (ص 700).
1. »Al-Kindi’s...«
رسالۀ «تکسیر دایره» جزو آثار معدودی است که از ارشمیدس در دوران نهضت ترجمه به عربی ترجمه شده است. ابن ندیم از این کتاب با عنوان کتاب تربیع‌الدائره نام برده است (ص 326)، اما در منابع دیگر، نام آن به‌صورت فی تکسیرالدائره آمده است. این کتاب از همان آغاز توجه ریاضی‌دانان اسلامی را به خود جلب کرد. کندی در نامه‌ای به یوحنا بن ماسویه (رسالةالکندی الى یوحنا بن ماسویه فی تقریب الدور من الوتر) قضیۀ سوم این رساله را شرح کرده‌است. این شرح که تنها نسخۀ آن در کتابخانۀ مرکزی دانشگاه تهران (در مجموعۀ شم‌ 7073) محفوظ است، به احتمال زیاد همان رساله‌ای است که نامش در الفهرست یک‌بار به صورت «فی تقریب قول ارشمیدس فی قدر قطرالدائرة من محیطها» و بار دیگر به صورت «فی تقریب
وتر الدائرة» آمده است (همو، 317؛ راشد، «شرح...1»، 12). کندی این شرح را برای تسهیلِ فهمِ نوشتۀ ارشمیدس برای کسانی تألیف کرده است که هرچند به ریاضیات علاقه‌مندند، اما چندان در این فن مهارت ندارند. بنابراین، برخی جزئیات محاسبات را با تفصیل بیشتری بیان می‌کند و نیز برخلاف ارشمیدس، در اثباتهای خـود به قضایای اصول اقلیدس ارجاع می‌دهد(همان،18).
یافتنِ رابطه‌ای برای مساحت دایره یکی از مسائلی است که بنی موسى (ه‌ م) که معاصر کندی بوده‌اند، در کتاب معرفة مساحة الاشکال بسیطة و الکریة به آن پرداخته‌اند. اثبات ایشان برای مساحت دایره هرچند ملهم از روش ارشمیدس است، اما با آن تفاوتهای مهمی دارد. نخست‌ اینکه بنی موسى در قضیۀ چهارم رسالۀ خود، مساحت دایره را به صورت حاصل‌ضرب شعاع آن در محیط آن تعریف می‌کنند. از این نظر روش آنها هم با روش اقلیدس متفاوت است، که از نسبت مساحتهای دو دایره سخن می‌گوید، و هم با روش ارشمیدس که مساحت دایره را برحسب مساحت شکل دیگری تعریف می‌کند. ثانیاً، بنی موسى هرچند اثبات خود را مانند اثبات ارشمیدس بر دو بار استفاده از برهان خلف مبتنی می‌کنند، اما به جای مقایسۀ مساحتهای چندضلعیهای محاطی و محیطی با مساحت دایره، محیط این چندضلعیها را با محیط دایره مقایسه می‌کنند. این روش بر قضایای دوم و سوم رساله مبتنی است. در قضیۀ پنجم، بنی موسى ثابت می‌کنند که نسبت قطر دایره به محیط آن مقدار ثابتی است. هرچند ثابت بودن این نسبت جزو مفروضات قضیۀ سوم تکسیر دایره است، اما بنی موسى، برخلاف ارشمیدس، به آن تصریح می‌کنند. روش بنی موسى در محاسبۀ این مقدار ثابت ــ که موضوع قضیۀ ششم رساله است ــ همان روش ارشمیدسی است و ایشان نیز همان مقدار ارشمیدسی را به دست می‌آورند ودر عین حال اشاره
می‌کنند که با این روش مقدار π را با هر تقریب دلخواهی

می‌توان به دست آورد.
نصیرالدین طوسی رسالۀ «تکسیر دایره» را در پایان تحریر خود از فی ‌الکرة و الاسطوانۀ ارشمیدس آورده است، «زیرا پایۀ آن رساله بر برخی از مصادراتی است که در این کتاب آمده است» (نصیرالدین، مجموع...، رسالۀ پنجم، 3). با این حال، در برخی از نسخ خطی تحریرهای کتب متوسطات، این رساله دو بار آمده ‌است، یک‌بار ذیل تحریر کره و استوانه و بار دیگر جداگانه (معصومی همدانی، 21).
خوارزمی در کتاب جبر خود برای π، سه مقدارِ و و را به دست می‌دهد و مقدار اخیر را، که برابر است با 1416/3، به «منجمان» نسبت می‌دهد (ص 55-56). احتمالاً این مقـدار را آپولونیوس (قرن 3ق‌م) در یکی از آثار خود ــ که از دست رفته ــ به دست آورده بوده است (بویر، 141). این مقدار را بطلمیوس در مجسطی (همو، 167-168) از راه محاسبۀ وتر نیم‌درجه، که برابر است با طول ضلع 720 ضلعی محاط در دایره، به‌ دست آورده (بطلمیوس،48-56 ) و هندیان نیز آن را می‌شناخته‌اند (بویر، 210). با این حال، خوارزمی در محاسبۀ مساحت دایره مقدار π را می‌گیرد (ص 64). در بسیاری از کتابهای جبر و حساب دوران اسلامی، مقدار π همان اختیار شده است (نک‌ : علی بن یوسف، 237-238؛ خاصبکی، 404-408؛ شیخ بهایی، 91). بیرونی در قانون مسعودی محیط 180 ضلعی محاط در دایره و محیط بر دایره را محاسبه می‌کند و با فرض اینکه محیط دایره واسطۀ عددی بین این دو است، مقدار 1417/3=π را به‌دست می‌آورد (1/330) که دقتش از مقداری که خوارزمی به منجمان نسبت داده، کمتر است.
روش غیاث‌الدین جمشید کاشانی (ه‌ م) در الرسالة المحیطیه برای محاسبۀ مقدار π بر پایۀ روش ارشمیدس است، اما او این روش را به صورتی بدیع به کار می‌برد. او از همان شیوۀ محیط کردن و محاط کردن چندضلعیها استفاده می‌کند، با این تفاوت که از آغاز خطای محاسبه را مشخص می‌کند و برای اینکه مقدار خطا از این‌حد بیشتر نشود، شمار اضلاع آخرین چندضلعی را 228×3 اختیار می‌کند. وی به این شیوه مقدار π را تا 9 رقم شصتگانی (16 رقم اعشاری) به دست می‌آورد. چنین دقتی در محاسبۀ π نه‌تنها تا آن زمان سابقه نداشت، بلکه ریاضی‌دانان اروپایی نیز تا اواخر قرن 16م بدان دست نیافتند (قربانی، کاشانی‌نامه، 130-153). غیاث‌الدین خود به تازگی کارش آگاه بوده است و روش خود را به مراتب دقیق‌تر از روش ارشمیدس دانسته است (ص 147).
از ریاضی‌دانان متأخر ایرانی، محمدباقر یزدی، نوۀ محمدباقر یزدی صاحب عیون‌الحساب، در شرحی که بر کتاب جد خود نوشته، دو مقدار را که فرنگیان برای π به دست آورده‌اند، ذکر کرده است. از این دو، یکی مقداری است که فرانسوا ویت در 1579م به دست آورده است و تا 11 رقم اعشاری دقت دارد، و دیگری مقداری است که لودلف وان کولن در 1596م محاسبه کرده، و دقت آن 20 رقم اعشاری است. قربانی ذکر این دو مقدار را در کتاب یزدی نخستین سند آشنایی ایرانیان با ریاضیات جدید اروپایی می‌داند (زندگی‌نامه...، 6-7).
از قرن 16م ریاضی‌دانان اروپایی کوشیدند تا مقدار π را با استفاده از سریهای همگرا محاسبه‌کنند و این کوششها به محاسبۀ مقادیر دقیق‌تری برای این عدد منجر شد. هرچند بیشتر ریاضی‌دانان از همان قرن 4ق‌م به صورت شهودی دریافته بودند که تربیع دایره با استفاده از خط‌کش و پرگار ناممکن است، تا سال 1882م ناممکن بودن این کار ثبت نشده بود. در این سال کارل لیندمان ریاضی‌دان آلمانی در مقاله‌ای ثابت کرد که عدد π متعالی1 است (بویر، 573) و به این ترتیب، تاریخ مسئلۀ تربیع دایره پایان یافت.

1. transcendental
مآخذ: ابن زرعه، عیسى، منطق، به کوشش جیرار جیهامی و رفیق عجم، بیروت، 1994م؛ ابن ‌سینا، الشفاء، برهان، به کوشش ابوالعلاء عفیفی، قاهره، 1375ق/1956م؛ همو، همان، طبیعیات، السماء والعالم، به کوشش ابراهیم مدکور و محمد قاسم، قاهره، دارالکتب العربی؛ همو، همان، منطق، سفسطه، به کوشش احمد فؤاد اهوانی، قاهره، 1337ق/1958م؛ همو، همان، منطق، قیاس، به کوشش سعید زاید، قاهره، 1383ق/1964م؛ ابن ندیم، الفهرست؛ بیرونی، ابوریحان، القانون المسعودی، حیدرآباد دکن، 1373ق/1954م؛ خاصبکی، مسعود، «البدیع فی علم‌الحساب»، چ تصویری، سفینۀ تبریز، تهران، 1381ش؛ خوارزمی، محمد، الجبر و المقابلة، به کوشش علی مصطفى مشرفه و محمد مرسی احمد، قاهره، 1968م؛ شیخ بهایی، الاعمال الریاضیة، به کوشش جلال شوقی، قاهره، 1981م؛ علی بن یوسف محاسب، لب الحساب، چ تصویری، تهران، 1368ش؛ غیاث‌الدین جمشید کاشانی، مفتاح الحساب، به کوشش احمد سعید دمرداش و محمد حمدی حنفی شیخ، قاهره، 1967م؛ فارابی، «البرهان»، المنطقیات، به کوشش محمدتقی دانش‌پژوه، قم، 1408ق؛ قربانی، ابوالقاسم، زندگی‌نامۀ ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی، تهران، 1375ش؛ همو، کاشانی‌نامه، تهران، 1368ش؛ معصومی همدانی، حسین، «استاد بشر»، دانشمند طوس، به کوشش نصرالله پورجوادی و ژیوا وسل، تهران، 1379ش؛ نصیرالدین طوسی، اساس الاقتباس، به کوشش محمدتقی مدرس رضوی، تهران، 1336ش؛ همو، مجموع الرسائل، حیدرآباد دکن، 1359ق؛ نویگباوئر، اوتو، علوم دقیق در عصر عتیق، ترجمۀ همایون صنعتی‌زاده، تهران، 1375ش؛ نیز:

Archimedes, »La méthode relative aux théorèms mécaniques«, Les Œuvres complètes d’Archimède, vol. II, Brugge, 1921; Aristotle, Analytica posteriora; id, Historia animalium ; id, Physica ; id, Sophistici elenchi ; Boyer, C. B., A History of Mathematics, New York, 1991; Dictionary of Scientific Biography, ed. Ch. C. Gillispie, New York, 1971-1981; Euclid, The Thirteen Books of Elements, tr. Th. L. Heath, Oxford, 1925; Eutocus, »Commentaire sur le traité de la mesure du cercle«, Les Œuvres complètes d’Archimède, vol. II, Brugge, 1921; Heath, Th. L., A History of Greek Mathematics, Oxford, 1921; id, notes on The Works of Archimedes, Cambridge, 1887; Ho Peng Yoke, Li, Qi and Shu, An Introduction to Science and Civilization in China, Hong Kong, 1985; Knorr, W. R., The Ancient Tradition of Geometric Problems, Boston, 1986; Ptolemy, Almagest, tr. G. J. Toomer, London, 1984; Rashed, R., »Al-Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle’«, Arabic Sciences and Philosophy,vol.III(1),

1993; id, Les Mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, London, 1993, vol. II; Ver Eecke, P., notes on Les Œuvres complètes d’Archimède suivies des Commentaires d’Eutocius d’Ascalon, Brugge, 1921, vol. II.
حسین معصومی همدانی