حساب ، علم، شاخه‌اى از ریاضیات كه در تمدن اسلامى، به‌ ویژه براى مقاصد نجومى، تجارى و در علم فرایض به‌كار گرفته شد و توسعه یافت. موضوع این علم شناخت و ثبت انواع عدد و خواص آنها و كاربرد آنها براى مقاصد عملى است. حساب در معناى وسیع آن، علم جبر را نیز شامل می‌شده است (رجوع کنید به جبر و مقابله*). مقوله‌هاى عمده در حساب دوره اسلامى عبارت‌اند از : حساب هندى (دهدهى، موضعى)، حساب منجمان (ستینى یا شصتگانى، موضعى)، حساب جُمَّل/ جُمَل (رمزى، ابجد)، حساب هوایى (ذهنى)، حساب انگشتى (عقود انامل) و حساب سیاق. واژه حساب به‌معناى روش خاص محاسبه نیز به‌كار می‌رفت، مثلاً در حساب خطأین (رجوع کنید به ادامه مقاله).

جایگاه حساب در تمدن اسلامى. حساب به عنوان علمى نظرى، در دو قرن آغازین خلافت عباسیان در جوامع اسلامى پدیدار شد. ابویوسف یعقوب‌بن اسحاق كندى* (متوفى ح 260) در دسته‌بندى علوم، با الهام از نظر یونانیان باستان، علم اعداد و نظریه نسبتها و اعمال اصلى حساب را در مقوله علوم انسانى (در مقابل علوم الهى) قرار داد (رجوع کنید به ج 1، ص 376ـ377). یك قرن بعد، ابونصر فارابى* (متوفى 339؛ ص 29، 75) علوم را به پنج دسته كرد كه سومین آنها علم‌التعالیم (ریاضیات) شامل هفت شاخه و نخستین آنها علم عدد بود كه به دو بخش عملى و نظرى تقسیم می‌شد. در عین حال وى (ص90) حساب را، با عنوان «علم حیل عددى»، شاخه‌اى از علم حیل* می‌دانست كه موضوعش كاربرد ریاضیات در اجسام طبیعى است. ابن‌سینا (متوفى 428؛ 1376ش، ص 12، 32؛ همو،1360ش، ص 69) نظریه اعداد را برترین شاخه علوم ریاضى یا علوم تعلیمى می‌دانست كه خود شاخه‌اى از علوم فلسفى بین علوم طبیعى و علوم الهى (مابعدالطبیعه) را تشكیل می‌دهند.

جنبه كاربردى حساب در كار كاتبان ظاهر می‌شد كه، به اقتضاى حرفه‌شان، با شمارش، محاسبه و اندازه‌گیرى سروكار داشتند. برخى از آنان، مثل محمدبن احمد خوارزمى (قرن چهارم) كه در دربار سامانیان در بخارا كار می‌كرد، دسته‌بندى فیلسوفان را در مورد علوم ریاضى پذیرفتند و این علوم را جزو فلسفه قلمداد كردند (رجوع کنید به ص 127ـ128). كاتبان دیگرى مثل شعیا بن فریغون (قرن چهارم) ــ كه احتمالاً عضوى از سلسله كوچك بنوفریغون در شمال ایران و شاگرد ابوزید احمدبن سهل بلخى (متوفى 332) بودــ حساب و هندسه را در ردیف فنون ادبى و دیوانى به‌شمار آوردند. ابن‌فریغون بر اهمیت حساب براى تعیین مالیات و تقسیم ارث تأكید داشت. او حساب را به دو بخش تقسیم كرد: حساب دیوانى براى كارهاى ادارى و حساب فقهى براى محاسبات مربوط به ارث (فرایض)، وصایا و دیون (شعیابن فریغون، ص 69، 167).

رویكرد سومى هم از ابوحامد محمدبن محمد غزالى (متوفى 505) هست. وى در این رویكرد معیارهایى را كه جایگاه و ارزش یك رشته علمى را تعیین می‌كنند، وحى و عقل می‌داند (رجوع کنید به ص 31). به عقیده وى بخشهایى از حساب كه با فقه به عنوان علمى شریف، مفید و ضرورى مرتبط‌اند، مطلوب و حتى مورد نیاز جامعه اسلامی‌اند. همچنین حساب به عنوان علمى مستقل می‌تواند شاخه‌اى از فلسفه محسوب شود و مجاز بودن یا نبودنش به كاربرد عملى آن بستگى دارد (ص 23).

این دیدگاههاى متنوع، نظریات و ارزش‌گذاریهایى راجع به حساب در جوامع اسلامى پدید آورد. این نظریات در تقابل با یكدیگر دستخوش اصلاحاتى شدند كه به دست مؤلفانى از سده‌هاى بعد و در حوزه‌هاى محلى مختلف صورت گرفت. جایگاه گروههاى فرهیخته، به‌خصوص در شهرهاى بزرگ و دربارها، تعیین‌كننده وضع رشته‌هاى گوناگون دانش، از جمله حساب، بود. مدرسه، خانقاه، مزار و مسجد فضاهاى آموزشى مهمى براى علم حساب شدند و آموزش و تألیف در این زمینه در آنجا پیگیرى می‌شد. نیازهاى ناشى از اداره حكومت، جامعه یا دربار و ضرورتهاى بازرگانى و دیگر فعالیتهاى اقتصادى، متضمن وجود مداوم كارهاى محاسباتى بود. این‌گونه فضاها و فعالیتهاى نهادین، در اصلاحات و تغییراتى كه گاه در وضع این علم و محتوا و شكل و متنهاى درسى رایج آن رخ می‌داد سهم داشت. اما در كل می‌توان سه مرحله عمده در تطور علم حساب در تمدن اسلامى در نظر گرفت. مشخصه مرحله اول، ترجمه‌ها، فعالیتهاى رقابت‌آمیز و بحثهاى پرشور است. آغاز این مرحله چندان مشخص نیست و صرفاً ماهیت عملى برخى از بخشهاى آن معلوم است. پرتحرك‌ترین دوران آن از اواخر قرن دوم با شروع نهضت ترجمه تا قرن چهارم بود كه متون یونانى و هندى به قلمرو اسلامى راه یافتند. این تحرك تا اوایل قرن هشتم هم ادامه یافت. در مرحله دوم، كه روند آن تا اوایل قرن دوازدهم ادامه یافت، از حرارت بحثها و تغییرات در مفاهیم كاسته شد. از خصوصیات عمده این مرحله، پایدارى نهادها و معیارهاى اجتماعى و فرهنگى و وسعت و غناى كار عملى است. مرحله سوم از قرن هشتم تا دوازدهم با تجربه تازه‌اى در خلاقیت ناشى از تبادلهاى فرهنگى در این حوزه شكل گرفت؛ پاره‌اى مفهومها، روشها و متنهاى درسى كه در كشورهاى اروپایى پدید آمد یا نوشته شد، به عرصه آموزش علم حساب جوامع اسلامى راه یافت. نخستین نشانه‌هاى این دریچه نوین به اندیشه‌هاى دیگر در طول قرن دوازدهم در قلمرو عثمانى و جوامع اسلامى هند ظاهر شد. كتابهاى درسى به زبان فرانسه حاوى شرح مفهوم لگاریتم، در نیمه اول قرن دوازدهم در هند به زبان فارسى و در امپراتورى عثمانى به تركى ترجمه شد. نقطه اوج این ورود صورتهاى نوین دانش، در نیمه دوم قرن سیزدهم بود كه موجهاى نیرومند اصلاح‌طلبى ساختارهاى آموزشى، نظامى و ادارى دولت عثمانى، ایران عهد قاجار و هر دو بخش مستعمره و مستقل هند را دگرگون كرد.

دستگاه اعداد و نمادگذارى. در نظریه اعداد دوره اسلامى، همانند یونان باستان، منظور از عدد، عددهاى صحیح با شروع از دو بود. واحد (یك) به عنوان مبدأ و اصلى منظور می‌شد كه عددها از آن نشئت می‌گرفتند، ولى خودش عدد محسوب نمی‌شد. مؤلفان متعددى با اتكا به وجوه مختلف محاسبات عملى، نظریه تناسبها در مقاله پنجم اصول اقلیدس، دسته‌بندى انواع مقادیر هندسى در مقاله دهم آن و پیشرفتهاى علم جبر، به گسترش مفهوم عدد یارى رساندند (رجوع کنید به جبر و مقابله*). درنتیجه، برخى مؤلفان كسرها را عدد به حساب آوردند (براى نمونه رجوع کنید به اخوان‌الصفا، ص 82)، نسبت عددهاى صحیح به یكدیگر نوع تازه‌اى از عدد محسوب شد (رجوع کنید به خیام، 1314ش، ص 20) و عددهاى منفى ابداع گردید (سموأل‌بن یحیى مغربى، ص 40).

دستگاه عددهاى شصتگانى مأخوذ از فرهنگهاى كهن بین‌النهرین عمدتآ در نجوم و احكام نجوم به كار می‌رفت. عددهاى دهدهى با حروف ابجد نوشته می‌شد كه در آنها حروف الفبا نشانه رقمها، مضارب دَه، مضارب صد، و عدد هزار بودند. به این شیوه عددنویسى، كه در آن حروف به ترتیب الفباى عبرى قرار می‌گرفتند، حساب جُمَّل/ جُمَل گفته می‌شد (رجوع کنید به ابجد*). براى نگاشتن عددها روى ابزارهایى چون اسطرلاب و رُبع هم از شیوه ابجد استفاده می‌شد. حروف متوالى اركان این شیوه (اَبْجَد، هَوَّز، حُطّى، كَلَمَن، سَعْفَص، فَرَشَت، ثَخِذ، ضَظِغ) به ترتیب معادل 1 تا 9، 10 تا 90، 100 تا 900 و 1000 بود. ارزش عددى برخى حروف مثل س، ش، ص، ض، ظ و غ در شرق جهان اسلام (60، 300، 90، 800، 900 و 1000)، با مقادیر آنها در غرب (به‌ترتیب 300، 1000، 60، 90، 800، 900) فرق می‌كرد (رجوع کنید به قلقشندى، ج 1، ص 18). صورت دیگر نمایش اعداد، انتساب شمارها یا مقادیر عددى به انگشتان دست (عقود انامل) بود.

حساب هوایى مجموعه‌اى از روشهاى محاسبه ذهنى براى اعمال حساب، به‌ ویژه ضرب، بود. عمده‌ترین منابع این نوع حساب در ریاضیات دوره اسلامى عبارت‌اند از: الكافى فى الحساب از ابوبكر محمدبن حسن كرجى* (متوفى ح 420)، كتاب اللباب فى الحساب از عمادالدین یحیی‌بن احمد كاشانى (قرن هشتم)، مقدمة فى علم الحساب از شرف‌الدین حسین‌بن محمد طیبى (قرن هشتم) و المعونة فى الحساب‌الهوائى از ابوالعباس احمدبن محمد ملقب به ابن‌هائم (قرن هشتم). شرف‌الدین حسین طیبى در اثر خود از حساب هوایى با عنوان «حساب بلاتخت» یاد كرده است. ابن‌هائم خود مختصرى از رساله المعونة فى الحساب الهوائى فراهم كرده و آن را الوسیلة نامیده است (ذكى، ص 237، 268، 277ـ281).

رقمهاى دهدهى و صفر كه از هندیان گرفته شده بود، با ده علامت خاص نوشته می‌شد و با تركیب آنها در یك دستگاه شمار موضعى می‌توانستند عددهاى هرچند بزرگ را ثبت كنند. در اسناد مالى و دیوانى، مسلمانان تا قرن چهارم از شمارها و حروف یونانى هم استفاده می‌كردند (گرومان، ص 44ـ51، ش 81 و 82، ص 101ـ104، ش 96). در اسناد ادارى قرن ششم اندلس، از حروف یونانى، گاهى در صورت قبطى آنها، براى بیان عددها استفاده می‌شد (دیاتس گارسیا، ج 1، ص 357ـ373). در مغرب، این صورتهاى نمادین در اوراق ادارى قرن دهم دیده می‌شود كه احتمالاً ناشى از بیرون راندن بومیان مغرب از كارهاى ادارى بود (كولن، ص 193ـ215). در این اسناد، نمادهاى عددى با نام «حروف زمام» و دستورهاى محاسبه با آنها «حساب رومى» خوانده شده است. ابن‌بنّاى مراكشى (متوفى 721)، دانشمندى كه با امور دیوانى هم آشنا بود، رساله الاقتضاب من العمل برومى فى الحساب را درباره این عددها و كار با آنها نگاشت (كروزه، ص 499). چنان‌كه از متنى نوشته سِوِروس سبخت، مؤلف سریانى، برمی‌آید، علائم هندى براى صفر و رقمهاى نه‌گانه در منطقه هلال خصیب (تقریباً منطبق بر خاورمیانه) در قرن اول هجرى یا پیش از آن شناخته شده بود (رجوع کنید به محمدبن‌موسى خوارزمى، 1997، بخش خلاصه، ص163). معلوم نیست كه این انتقال از چه راههایى صورت گرفته است. سزگین (ج5، ص211) به ‌وجود واسطه‌اى از ایران دوره ساسانى معتقد است. كونیچ (ص 3) بر آن است كه احتمالاً هندیانى كه به ‌دربار عباسیان در بغداد رفتند، عامل این انتقال بوده‌اند. نخستین متنهاى عربى در شرح عددهاى هندى در اوایل قرن سوم در بغداد، از جمله به‌دست یعقوب‌بن‌اسحاق كندى، نگاشته شد (رجوع کنید به ابن‌ندیم، ص 316) كه تقریباً همه آنها مفقود شده‌اند. كهن‌ترین نمونه باقی‌مانده از این متنها را تنها از طریق ترجمه لاتینى آن كه در قرن ششم/ دوازدهم صورت گرفت می‌شناسیم (رجوع کنید به ادامه مقاله). در مغرب، حساب‌هندى در قرن چهارم یا پیش‌از آن شناخته شد. دانشمندى یهودى به‌ نام دونش‌بن تمیم (زنده در حدود 345) اهل قَیروان (تونس) گزارش كرده كه كتابى به نام حساب‌الغبار نوشته است (رجوع کنید به د.جودائیكا، ذیل «دونش‌بن تمیم»). در شبه‌جزیره ایبرى، عددهاى هندى در نسخه خطى ویگیلیانوس ثبت شده‌اند كه متنى لاتینى كتابت شده در 365/ 976 است. حدود صد سال بعد، نخستین متن عربى مؤید آشنایى آنان با عددنویسى هندى و ورود كتاب خوارزمى درباره حساب هندى است (رجوع کنید به ادامه مقاله). صورت مكتوب رقمهاى هندى در نواحى گوناگون جهان اسلام، با یكدیگر تفاوتهاى اساسى دارند. در متنهاى عربى دو صورت عمده قابل‌تشخیص است: صورت مغربى و صورت مشرقى. صورت نخست را اغلب در متنهاى عربى اقلام، حروف، ارقام، اشكال الغُبار، و در متنهاى لاتینى طُلِیطُلى می‌نامند. صورت مشرقى را هم به نامهایى چون الاَحرُف الهندى، حروف هندى، حروف تسعه و صُوَرتسعه خوانده‌اند (كونیچ، ص 4، 9ـ11). شواهد كافى موجود است براى این فرض كه هر دو گروه علامتها از نمونه‌هاى كهن هندى مشتق شده‌اند.

در متنهاى فارسى، تركى عثمانى و اردو صورت دیگرى هم ظاهر شد كه مشتق از صورت مشرقى است. در كارهاى ادارى، صورتهاى دیگرى از ضبط عددها هم به وجود آمد كه دیوانى و سیاقى نام داشت. این گونه عددها در اسناد ادارى دوره عباسى، سلجوقى، عثمانى و صفوى و بر سكه‌هاى سلجوقى و ایلخانى دیده می‌شوند (د.اسلام، چاپ دوم، ذیل «سیاقت»). این علائم، صورتهاى فشرده براى تندنویسى نام عددهاى عربى بودند. كهن‌ترین اسناد برجاى مانده حاوى علائم سیاق متعلق به سال 306 است كه ابوالحسن علی‌بن عیسی‌بن جراح حسابى آنها را در عهد خلافت المتقدرباللّه تهیه كرده است (كرمر، ص 23ـ 25). در كتابى به ‌نام الحاوى للاعمال السلطانیة و رسوم الحساب الدیوانیة، از مؤلفى ناشناخته، همین علائم به‌كار رفته است. این كتاب احتمالاً متعلق به اوایل قرن ششم است، زیرا مؤلف آن خود را شاگرد ابوعبداللّه محمدبن حسین شقّاق (متوفى 511) معرفى كرده است (ربستاك، 1992، ص 85، 96؛
براى اطلاع بیشتر درباره تاریخچه پیدایش و روشهاى حساب سیاق رجوع کنید به باقرى، ص 298ـ301).

هنگام استفاده از ارقام هندى و عددهاى شصتگانى، كسرها را در كادرهاى مجزایى می‌نوشتند كه زیر یكدیگر قرار می‌گرفتند و با خطها یا كمانهاى كوتاه از هم جدا می‌شدند. در قرنهاى بعد علامتهاى دیگرى براى جدا كردن كسرها و اجزاى آنها ابداع شد. مثلاً ابن‌بنّا از پاره‌خطهاى افقى و عمودى استفاده می‌كرد (رجوع کنید به قَلَصادى، ص 161، 163، 168). وقتى ضبط اعمال حساب روى كاغذ آغاز شد، براى آنها هم از علائم بصرى استفاده می‌كردند. قبل از آنكه كاغذ براى ثبت محاسبات به‌كار رود، حساب هندى روى «تخت و تراب» انجام می‌شد. حتى در قرن هشتم هم متنهاى عربى و فارسى براى آموزش شیوه محاسبه با تخت و تراب تألیف می‌شده است.

علاوه بر عددهاى صحیح، كه براى شمارش، محاسبه و گزارش نتایج نوشته می‌شدند، جدولها و نمودارها و شكلهاى هندسى هم براى نمایش عددها و فراگیرى اعمال حساب به‌كار

می‌رفتند. عددهاى مصور، مثل عددهاى مثلث، مربع و مخمَّس، از متنهاى كهن یونانى درباره حساب گرفته شده بودند. گنجاندن عددها و اَعمال حساب در جدولها، در آثار عربى، فارسى و تركى عثمانى راجع به حساب، جبر، نجوم و احكام نجوم بسیار رایج بود، و در آثار چند دانشى، مجموعه‌هاى درسى و همچنین به صورت برگهاى جداگانه در نسخه‌هاى خطى هم دیده‌می‌شود.

در كارهاى بازرگانى و ادارى، دستگاههاى غیردهدهى، به خصوص دستگاههاى در پایه 12 و 24، هم به‌كار می‌رفت. قلمرو عمده كاربرد آنها تبادل بین‌انواع پول، واحدهاى وزن و سایر كمّیتها بود. از دستگاه‌شصتگانى به‌عنوان واسطه تبدیل‌بین این‌دستگاهها استفاده می‌شد (براى اطلاع بیشتر درباره دستگاه شصتگانى رجوع کنید به ربستاك، 1992، ص 247ـ256؛
برگرن، 1986، ص 39ـ48).

انواع و محتواى متنهاى حساب. شمارى از متنهاى عربى حساب، براساس نوع حساب و نمادگذارى اعدادِ به‌كار رفته در آنها، به چهار دسته تقسیم شده‌اند: 1)متنهاى «حساب هندى» كه در آنها دستگاه اعشارى موضعى و ارقام هندى به كار رفته است. این متنها اغلب شامل بابهایى درباره عددهاى شصتگانى هم هستند كه در آنها معمولا از حروف ابجد استفاده می‌شود. 2)متنهاى «حساب عربى» كه در آنها نوعى حساب شفاهى تدریس می‌شد و اعداد به صورت كلمه بیان می‌شدند. 3) متنهایی‌كه شامل‌تركیبی‌از حساب‌هندى، محاسبات شصتگانى و دست‌كم یكى از انواع شفاهى حساب بودند و ازاین‌رو در دسته «هند و عربى» قرار می‌گیرند. 4)متنهاى «حساب اسلامى» كه براساس این انواع حساب، نظام منسجم تازه‌اى از حساب مكتوب پدید آوردند (رجوع کنید به سعیدان، ص 15ـ16).

كهن‌ترین متن عربى نوشته شده در حساب هندى، كتاب الجمع و التفریق محمدبن موسى خوارزمى* است (قربانى، 1365ش، ص 243). اصل عربى آن از بین رفته و تنها ترجمه لاتینى آن، كه در قرن ششم/ دوازدهم فراهم آمده، موجود است. این ترجمه لاتینى و ترجمه‌هاى انگلیسى، روسى و فرانسوى آن براساس نسخه ناقصى موجود در كتابخانه دانشگاه كیمبریج منتشر شد. در 1376ش/1997 عكس نسخه كامل این ترجمه لاتینى، كه در كتابخانه انجمن اسپانیولى امریكا (نیویورك) نگهدارى می‌شود، با ویرایش و ترجمه آلمانى آن به وسیله منسو فولكرتس، در مونیخ چاپ شد.

كهن‌ترین متن موجود از نوع حساب هندى، كتاب الفصول فى الحساب الهندى اثر ابوالحسن احمدبن ابراهیم اقلیدسى* است كه در سال 341 در دمشق تألیف شده‌است (همان، ص130ـ 134). رساله‌هاى دیگرى از این دسته عبارت‌اند از: رساله حساب از كوشیار گیلانى* (نیمه دوم قرن چهارم و اوایل قرن پنجم) با عنوان اصول حساب الهند؛
رساله شاگرد كوشیار، ابوالحسن علی‌بن احمد نَسَوى* (متوفى ح 473)، با عنوان المقنع فى الحساب الهندى؛
رساله التبصرة فى علم الحساب از ابونصر سموأل‌بن یحیى مغربى* (متوفى ح 570)؛
و جوامع الحساب بالتخت و التراب* از خواجه نصیرالدین طوسى*. مشهورترین رساله‌هاى حساب عربى عبارت‌اند از: مایحتاج الیه الكتّاب و العمّال من صناعة (علم) الحساب، اثر ابوالوفا بوزجانى* (متوفى 388)؛
و الكافى فى الحساب، تألیف ابوبكر محمدبن حسن كرجى (همان، ص 161ـ162، 394ـ395).

شاخص‌ترین نمونه از متنهاى حساب هند و عربى، التكملة فى الحساب اثر ابومنصور عبدالقاهربن طاهر بغدادى* (متوفى 429) است. در این رساله از حساب هندى، عددهاى شصتگانى، حساب شفاهی‌با انگشتان، محاسبه‌ ریشه‌ها، خواص‌اعداد صحیح و حساب بازرگانى بحث شده است (رجوع کنید به همان، ص 108ـ109).

نمونه‌هایى از متنهاى حساب‌اسلامى، آثار این شش مؤلف‌اند كه در مغرب، سوریه، آسیاى میانه و ایران می‌زیستند: كتاب الحصار فى علم الغبار، تألیف محمدبن عبداللّه حصار* (قرن ششم ـ هفتم؛
همان، ص 454)؛
تلخیص اعمال الحساب و چند رساله دیگر، تألیف ابن‌بنّا (رجوع کنید به همان، ص 18ـ19)؛
مراسم الانتساب فى علم الحساب، تألیف یعیش‌بن ابراهیم اموى (قرن هشتم؛
همان، ص141ـ142)؛
مفتاح‌الحساب،تألیف غیاث‌الدین جمشید كاشانى* (متوفى 832؛
همان، ص372ـ376)؛
انكشاف (كشف) الجلباب فى فنون الحساب، تألیف ابوالحسن على قَلَصادى* (متوفى 892؛
همان، ص 357ـ 358)؛
و خلاصة الحساب*، تألیف بهاءالدین عاملى* (متوفى 1031؛
همان، ص 170ـ 171). البته رساله‌هاى پرشمار دیگرى از این دست، به عربى، فارسى و تركى عثمانى، و همچنین شرحهایى بر آثار مؤلفان مذكور و رساله‌هاى مستقل دیگرى هم هست كه بسیارى از آنها هنوز بررسى نشده‌اند. نمونه‌هاى دیگرى از مقوله متنهاى حساب اسلامى بدین‌قرارند: رساله الشمسیة فی‌الحساب از نظام اعرج نیشابورى* (قرن هفتم ـ هشتم) و شرح حمزةبن‌على بیهقى بر آن (همان، ص508)، رساله حطّالنقاب علی‌وجه عمل‌الحساب از ابن‌قُنفُذ قسنطینى (متوفى 809 یا 810؛
همان، ص 42ـ43) و مفتاح كنوز ارباب قلم و مصباح رموز اصحاب رقم (فارسى) از خلیل‌بن ابراهیم حسینى (قرن نهم؛
همان، ص 237).

متنهاى حساب هندى را، به صورت مكتوب، ابتدا بیشتر روى تخت و تراب آموزش می‌دادند و بعدها كاغذ هم به كار رفت. بابهاى آغازین آنها درباره رقمهاى هندى و مراتب اعشارى بود. سپس دو موضوع عمده در آنها مطرح می‌شد. ابتدا روشهاى محاسبه با اعداد صحیح و سپس همان عملها با كسرها بیان می‌شد. در هر موضوع، عملیات بیان شده عبارت بودند از : جمع، تفریق، دو برابر كردن، نصف كردن، ضرب، تقسیم، جذر و كعب. حاصل عملها به روش طرح نُه‌نُه یا روشهاى دیگر امتحان می‌شد (رجوع کنید به سعیدان، ص 24ـ28؛
براى مثالى درباره چگونگى عمل ضرب اعداد صحیح در حساب هندى رجوع کنید به كوشیاربن لبّان، ص 36ـ38؛
براى مثالى درباره تقسیم كسرها (درجه‌ها و دقیقه‌ها) رجوع کنید به سعیدان، ص 93).

متنهاى حساب عربى عمدتآ روشهاى حساب هوایى یا حساب انگشتى (عقود انامل) را آموزش می‌دهند كه روشهاى محاسبه ذهنی‌اند. در این روشها سه عمل اصلى حساب صورت می‌گیرد: ضرب، تقسیم و تناسب. دو عمل اخیر صورتهاى دیگر محاسبه با كسرها به شمار می‌آیند. حاصلهاى هر سه نوع عمل با طرح نُه‌نُه یا با عمل معكوس امتحان می‌شوند. افزون بر اینها در متنهاى حساب دوره اسلامى، چگونگى تعیین مساحتها و حجمها، روش حل معادلات خطى و درجه دوم معین و نامعین (سیال)، و طرز یافتن جواب انواع مسئله‌هاى مربوط به حساب بازرگانى، ریاضیات ارث و معماهاى ریاضى آموزش داده می‌شود. بسیارى از این مسائل امروزه عملا در حیطه علم جبر قرار می‌گیرند. روشهاى عرضه شده در متنهاى حساب عربى اساساً براى منشیان، بازرگانان و نیز كسانى بود كه سهم ارث افراد را تعیین می‌كردند (رجوع کنید به همان، ص 20ـ21).

در متنهاى حساب اسلامى رویكرد تازه‌اى به حساب عرضه می‌شود كه در وهله اول تحت تأثیر حساب هندى است كه براى محاسبه روى كاغذ تطبیق یافته است، ولى شامل عناصرى از حساب نظرى یونان و سنّتهاى گوناگون محاسبه ذهنى است. این متنها نخست تعریفى از حساب و عدد عرضه می‌كنند. سپس به دسته‌بندى و تعریف رشته‌اى از مفاهیم ریاضى، در وهله اول اعداد صحیح و كسرها، و گاهى هم سطوح و احجام می‌پردازند. سپس عمل جمع و از جمله جمع‌زنى رشته‌هاى عددى آموزش داده می‌شود. این متنها با الهام از دیدگاههاى حساب یونانى در این بخش، خواص اعداد صحیح ویژه‌اى چون عددهاى تام یا عددهاى مُتَحابّ را می‌آورند. پس از این مطالب، در متنهاى حساب اسلامى ضرب و تفریق عددهاى صحیح، تبدیل كسرها براى تعیین مخرج مشترك آنها و محاسبه با آنها، استخراج ریشه، محاسبه با ریشه‌ها، و جبر آموزش داده می‌شود (رجوع کنید به همان، ص 12، 14، 30؛
براى تعریف كسر و انواع آن رجوع کنید به غیاث‌الدین جمشید كاشانى، ص 103ـ104).

برخى متنهاى حساب از دوره اسلامى هم در هیچ‌یك از گروههاى مذكور نمی‌گنجند. این متنها براى استفاده افراد شاغل در امور حقوقى در حوزه قوانین ارث یا منشیان دیوانى تهیه می‌شدند. بسته به سطح معلومات مخاطبان، این متنها براى شاگردان مبتدى، متوسط یا پیشرفته (منتهیان) تألیف می‌شدند. در این متنها رابطه بین حساب مكتوب و شفاهى و رابطه بین دستورهاى كلى و مثالهاى مشخص، با هم تفاوت زیادى دارند. این شیوه تألیف پس از قرن هفتم متوقف شد و متنهاى بعدى نه تنها انسجام كمترى دارند، بلكه مرزهاى بین قضیه‌ها، دستورهاى كلى، تمرینها و مسئله‌هاى مشخص را هم مخدوش كرده‌اند (ربستاك، 1992، ص 89، 96ـ97).

در مورد متنهاى حساب تألیف شده در مغرب و اندلس، مرزبندیها با آنچه در شرق بوده است تفاوت دارد. این متنها دستاوردهاى جدیدى مثل ریاضیات تركیبیاتى را هم شامل می‌شدند و آنها را از موضوعهایى در حوزه زبان‌شناسى و عروض به مسئله‌هاى ریاضى تبدیل كردند (جبار، 1985). این تفاوت در محتوا و الگوهاى متنهاى حساب، به مشخصه‌هاى سنّتهاى بومى مختلف ربط داده شده است (>دایرةالمعارف تاریخ علم، فنّاورى، و طب در فرهنگهاى غیرعربى<، ص 414ـ 415).

بدین‌ترتیب، آموزش حساب در زمینه‌هاى فرهنگى و اجتماعى گوناگونى صورت می‌گرفت. زمینه‌هاى عمده تحقق این امر، بازرگانى و امور دیوانى و شرعى، قوانین ارث و علوم بود. بر همین اساس، نهادهاى آموزش حساب هم متفاوت بود. والدین، معلمهاى خصوصى، آموزگاران شاغل در مدرسه‌هاى مقدّماتى و دینى، منشیان، استادكاران، و بازرگانان، حساب را آموزش می‌دادند.

پیش از تدوین كتابهاى درسىِ حساب در نظام آموزشى جدید در ایران، مهم‌ترین كتاب درسى حساب خلاصةالحساب شیخ‌بهائى بود و پیش از آن، كتاب الشمسیة فى الحساب اثر نظام اعرج نیشابورى و مفتاح‌الحساب غیاث‌الدین جمشید كاشانى براى این منظور به‌كار می‌رفت (تنكابنى، ص 57).

حساب خَطَأین و دیگر روشها. در متنهاى حساب و جبر، روشهاى گوناگونى براى حل رشته‌ای‌از مسائل بیان می‌شوند كه در بسیارى از فرهنگها شناخته شده‌اند و اغلب در قالب مسئله‌هاى بازرگانى یا معماها مطرح می‌شوند. یكى از این روشها حساب خطأین است. در قرن سوم، قُسطابن‌لوقا* رساله‌اى به این موضوع اختصاص داد كه عنوانش مقالةٌ لقسطابن لوقا فى البرهان على عمل حساب الخطأین بود. او یادآورى كرده كه این روش براى همه مسئله‌هاى خطى قابل استفاده است. در این رساله قسطابن لوقا برهان درستى این روش را، هم از طریق حسابى و هم از طریق هندسى، آورده است (رجوع کنید به قربانى، 1365ش، ص 349).

در روش خطأین دو عدد دلخواه 1x و 2x به عنوان جواب مسئله‌اى متضمن یك یا چند معادله خطى فرض می‌شوند، خطاهاى 1r و 2r مربوط به آنها تعیین می‌شود و جواب درست از رابطه زیر به دست می‌آید ( 1x، 2x، 1r و 2r مقادیر مثبت‌اند): براى وقتى كه هر دو خطا نقصانى یا هر دو اضافى باشند:

2r- 1r تقسیم بر 1x 2r- 2x 1 x= r



وقتى یكى از خطاها نقصانى و دیگرى اضافى باشد :

2r- 1r تقسیم بر 1x 2r +2x 1 x= r

این روش در بسیارى از متنهاى حساب ذكر شده، از جمله در تلخیص اعمال‌الحساب ابن‌بنّاى مراكشى كه در آن با نام «قاعده كفّات» آمده است (رجوع کنید به قَلَصادى، ص 233ـ243).

روش پركاربرد دیگر، تناسب نام دارد. این روش، ضمن بابهاى مربوط به معاملات در رساله‌هاى جبر و حساب، براى محاسبه بهاى كالا یا مقدار كالایى كه مشترى می‌خرد و نظایر اینها، به‌كار می‌رود. در این روش بین سه مقدار معلوم و مقدار چهارم مجهول تناسب برقرار می‌شود. سپس معادله‌اى براى یافتن كمّیت مجهول حل می‌شود. ابوریحان بیرونى رساله مقالة فى راشیكات الهند را به تعمیم این دستور براى بیش از چهار كمّیت اختصاص داد (قربانى، 1365ش، ص190). منجمان، موقِّتها و احكامیان جدولهاى بسیارى براى تابعهاى مثلثاتى و تابعهاى كمكى تدوین می‌كردند. برخى از این جدولها بسیار بزرگ و پیچیده و شامل تعداد بسیار زیادى عدد بودند. مسئله مهمى كه كاربر جدولها باید حل می‌كرد، محاسبه مقدار میانى بود كه در جدول وجود نداشت. بدین‌ترتیب، روشهاى درون‌یابى (تعدیل بین السطرین) خطى و درجه دوم ابداع شد.

دستاوردها و نوآوریها. یكی‌از دستاوردهاى عمده دانشمندان جوامع اسلامى در زمینه حساب، گردآورى سنّتهاى گوناگون محاسبه و تطبیق آنها با نیازها و امور عملى خود بود. آنان بر این اساس به تدریج نوع جدیدى از حساب را، كه براى كار با مركّب و كاغذ بود، پدید آوردند. براى این منظور قضایاى حساب یونان باستان، عددنویسى دهدهى هندى و شیوه‌هاى محاسبه روى تخت و تراب و انواع روشهاى شفاهى را باهم درآمیختند. آنان با استفاده از این دانش نوین یكپارچه، براى مقاصد گوناگونى در تجارت، امور دیوانى، كارهاى حقوقى، مسّاحى، احكام نجوم، نجوم و دیگر رشته‌هاى علمى، مفاهیم و روشها و دستورهاى جدیدى به‌وجود آوردند. براى نمونه، كسرهاى دهدهى، عددهاى منفى و مثلث ضرایب بسط دو جمله‌اى را می‌توان نام برد.

ظاهراً اقلیدس نخستین كسى است كه در رساله‌اش راجع به حساب هندى به كسرهاى دهدهى پرداخته و به نظر می‌رسد در این كار از روش عملیات روى كسرها در دستگاه شصتگانى الهام گرفته است. او پیشنهاد كرده است كه هنگام نصف كردن عددهاى صحیح یا ضرب كردن آنها در اعشار، علامت كوچكى بالاى مرتبه یكان گذاشته شود تا بخش صحیح عدد از بخش كسرى متمایز گردد (رجوع کنید به برگرن، 1986، ص 36ـ37).

كسرهاى دهدهى چندان مورد توجه ریاضی‌دانان، منجمان و دیگر كسانى كه با كسرها كار می‌كردند قرار نگرفت. اما چند تن از خلاق‌ترین دانشمندان جوامع اسلامى، یعنى ابومنصور بغدادى، سموأل‌بن یحیى مغربى و غیاث‌الدین جمشید كاشانى، در رساله‌هاى ریاضى و محاسبات نجومى خود كسرهاى دهدهى را به‌كار بردند. بغدادى از این كسرها همانند اقلیدس استفاده می‌كرد، ولى سموأل آنها را در حوزه تازه‌اى، یعنى تقریب زدن عددها با دقت دلخواه، به‌كار برد. غیاث‌الدین جمشید كاشانى به كسرهاى دهدهى رسمیت بخشید و شیوه محاسبه با آنها را به‌طور منسجم بیان كرد. در یك متن یونانى بیزانسى از قرن نهم/ پانزدهم این نوع كسر آورده شده و كسر «تركى» (به معناى اسلامى) خوانده شده است. دانشمندان اروپایى، از جمله سیمون استوین (متوفى 1029/1620)، در اواخر قرن دهم/ شانزدهم استفاده از كسرهاى دهدهى را آغاز كردند (همان، ص 38ـ39). سطرهاى متوالى ضرایب بسط دو جمله‌اى (b+a) n به ازاى ...،4،3،2 = n، كه مثلث پاسكال خوانده می‌شود، به‌طور كامل و مشروح در رساله الباهر فى الجبر سموأل مغربى آمده است. مؤلف آن را به كرجى كه پیش از وى می‌زیست و اثرش در این موضوع مفقود شده، نسبت داده است (رجوع کنید به ص 109ـ112). كرجى و سموأل مغربى در بسط مطالب قبلى ــ درخصوص وقتى كه در این جمله‌ها عددهایى داشته باشیم كه كاسته می‌شوند (عددهاى منفى) یا وقتى توانها بیشتر از نُه یا كمتر از یك باشند، یا وقتى با چند جمله‌ایها سروكار داشته باشیم ــ پژوهشهاى اساسى كردند. آنها خصلت جبر را، كه تا آن زمان بر حل معادله‌هاى درجه دوم و سیاله متمركز بود، با اساس قراردادن چند جمله‌ایهاى جبرى و اِعمال منسجم عملیات حساب روى آنها، تغییر دادند.

ضمن تلاشهایى كه براى تعیین جوابهاى معادلات درجه سوم و بالاتر با روشهاى عددى صورت گرفت، رابطه نزدیك دیگرى بین حساب و جبر پدید آمد. روشهاى تقریبى براى تعیین جذر و كعبِ عددهاى صحیح، از فرهنگهاى شفاهى متقدم‌تر مشرق زمین شناخته شده و از طریق ترجمه متنهاى نجومى هندى و ساسانى فراگرفته شده بود. عمر خیام* (متوفى 525) در رساله جبر خود نوشته كه از ریشه سوم فراتر رفته است (رجوع کنید به 1339، ص 12ـ13، ترجمه فارسى، ص170ـ171) و رساله‌اى به نام مشكلات الحساب نوشته است كه در آن روشِ یافتن ریشه‌هاى چهارم، پنجم، ششم و بالاتر تا درجه دلخواه بیان شده است. خیام (همانجاها) می‌گوید «این اضافات تازه است» و برهانهاى آن كاملا بر قسمتهاى مربوط به علم حساب در اصول اقلیدس، متكى هستند. اما دست‌كم دو دانشمند پیش از وى در این موضوع مطالبى نوشته بودند. ابوالوفا بوزجانى (متوفى 389) كتاب استخراج ضلع المكعب و مال‌المال و مایتركب منهما را نوشته بود و بیرونى رساله فى استخراج الكعاب و اضلاع ماورائه من مراتب الحساب را، كه از هیچ‌كدام نسخه‌اى به‌جا نمانده‌است (قربانى، 1365ش، ص 167؛
همو، 1374ش، ص46). حدود 135 سال پس‌از عمر خیام، شرف‌الدین طوسى* (متوفى 610) براى یافتن جوابهاى عددى مثبت معادلات درجه سوم، روشى به‌كار برد كه امروزه الگوریتم روفینى ـ هورنر خوانده‌می‌شود. قبلاً كوشیار گیلانى و شاگردش، ابوالحسن علی‌بن احمد نسوى، این روش را براى تعیین كعب اعداد به‌كار برده بودند (ماتویفسكایا و روزنفلد، ج 2، ص 366). درباره روشها و مرحله‌هایى كه شرف‌الدین طوسى در پژوهش خود به‌كار برده است تفسیرهاى مختلفى وجود دارد. از یك‌سوگفته شده كه طوسى مفاهیمى چون مشتق و روشهایى چون دستور عمل نیوتن را براى یافتن جواب تقریبى معادلات از درجه بالا ابداع كرده است (راشد، ص 367). اما این گفته، با استناد به اینكه شرف‌الدین طوسى صرفاً عناصرى نظرى و عملى را از ریاضیات یونان باستان و سده‌هاى میانه به‌كار گرفته، رد شده است (جاویش، ص 197ـ 198؛
هوخندایك، ص 71، 78ـ 81؛
برگرن، 1990، ص 306، 308).

در اوایل قرن نهم غیاث‌الدین جمشیدكاشانى (ص81ـ 84) روش یافتن ریشه پنجم عدد 197، 506، 899، 240،44 را بیان كرد (نیز رجوع کنید به قربانى، 1368ش، ص 65ـ70؛
برگرن، 1986، ص 54ـ63).

تأثیر نظریه اعداد یونان باستان بر حساب مكتوب و شفاهى دوره اسلامى. براساس شواهدى از قرنهاى سوم و چهارم، اغلب گفته می‌شود كه گروههاى اجتماعى و حرفه‌اى گوناگون در جوامع اسلامى، ضمن تلاش براى وارد كردن حساب هندى در حوزه‌هاى تازه‌اى از كاربردها و ادغام عملیات آن در سنّتهاى بومى، با مشكلات اساسى روبه‌رو شدند. مثلاً ابوعثمان جاحظ* (متوفى 255) در رسالةالمعلمین خود (ص 206) توصیه كرده است كه معلمان باید حساب با انگشتان را بر حساب هندى ترجیح دهند، زیرا حساب انگشتى «نه به كلام ملفوظ نیاز دارد، نه به نوشتن».

ظاهراً دیوانیان هم، براساس نظرهاى مشابهى، حساب هندى را دون شأن خود می‌دانستند و آن را رد می‌كردند. محمدبن یحیى صولى (متوفى 336)، كه به‌سبب قابلیتهاى گوناگونش براى خلفاى عباسى كار می‌كرد، حساب هندى را زیباترین شیوه محاسبه می‌دانست، زیرا براى عملیات با عددهاى بزرگ كاملاً مناسب بود (رجوع کنید به ص 239). در عین حال، او (همانجا) گزارش كرده است كه منشیان دیوانها محاسبه با انگشتان را ترجیح می‌دهند، زیرا شأن آنها را حفظ می‌كند، براى كارهاى محرمانه مناسب است و اشخاص را از ابزارها و چیزهاى دیگر بی‌نیاز می‌كند. یك قرن بعد، ابویعقوب اسحاق‌بن یوسف صَردَفى (متوفى 499) گفته است كه حساب هندى و محاسبه شفاهى بین دانشمندان یمن، به یك میزان رایج بود و به موازات هم به‌كار می‌رفت (رجوع کنید به ربستاك، 1999ـ2000، ص 189ـ 204).

نظریه اعداد در یونان باستان خود موضوع یكدستى نبود، بلكه در سه چهارچوب مختلف، با مطالب و روشهاى متفاوت، وجود داشت. تبیین استنتاجى و منسجم نظریه اعداد، با شروع از تعریفها و پیش رفتن از طریق قضیه‌ها و برهانها، بخشى از اصول اقلیدس (قرن سوم ق م) بود كه حتى تا قرن چهاردهم در جوامع اسلامى متن ریاضى مهمى به شمار می‌آمد. این بخش اصول بر عددهاى اول و مركّب تأكید داشت و با قضیه‌اى درباره عددهاى تام به پایان می‌رسید. نیكوماخوس گراسایى (جیراشى) (قرن دوم میلادى)، بر پایه مثالها و شكلها، بحثى استقرایى مطرح كرده بود كه علاوه بر عددهاى اول، مركّب و تام، به بررسى عددهاى مصور، متحابّ، ناقص و زائد و همچنین رشته‌هاى اعداد نیز پرداخته بود. چهارچوب سوم از آنِ دیوفانتوس (رونق حیات در ح 250 میلادى) بود كه به سراغ معادلات سیاله رفته بود. مفهومهاى اولیه كار او عددهاى صحیح، كسرها و توانهاى مثبت آنها بود.

در متنهاى حساب عربى و اسلامى، تا قرن هفتم عناصرى از نظریه یونانى اعداد در آمیزه‌اى از عناصر برگرفته از اقلیدس و نیكوماخوس وارد گردید. این عناصر یا مستقیمآ در آغاز این متنها آورده می‌شدند یا بخشى از بابهاى مربوط به عددهاى صحیح و كسرها بودند و مطالبى از نظریه اعداد یونان باستان، به‌ویژه دسته‌بندى و خواص عددها، را شامل می‌شدند. یكى از دلایل این آمیختگىِ عناصرِ نظرى در متنهاى حساب، كه بیشتر جنبه عملى داشتند، كارایى این دسته‌بندیها و روشها در تجزیه عددهاى صحیح و یافتن مخرج مشترك كسرها بود. ازاین‌روست كه متنهایى درباره نظریه اعداد، حساب هندى و محاسبه شفاهى، همگى، در مدارس شهرهاى بزرگ جهان اسلام تدریس می‌شدند.

كاربردها. حساب و جبر در سه حوزه عمده به كار می‌رفتند: سایر رشته‌هاى علمى، امور دیوانى و تجارت. علم حساب و جبر، علاوه بر دیگر رشته‌هاى ریاضى به خصوص نجوم و احكام نجوم، با علم فرایض پیوند نزدیك داشتند. این پیوند از اوایل پیدایش این دو رشته پدیدار شد. محمدبن موسى خوارزمى در نیمه دوم كتاب جبر خود با عنوان كتاب الوصایا (ص 123ـ172) نشان داده است چگونه مسائل گوناگون ارث را، می‌توان به یارى قاعده‌هاى حساب و جبر حل كرد.

البته معاملات بازرگانى و مسّاحى هم در كتاب خوارزمى جایگاه مهمى داشته‌اند. علاقه خوارزمى به مسئله‌هاى عملى بی‌شك در وهله اول ماهیت نظرى داشته و ضمناً خوارزمى می‌خواسته است خبرگى خود را در فنون جدید نشان دهد. مسائل و پیچیدگیهایى كه در قوانین ارث اسلامى پیش می‌آمد براى بررسى موارد قانونى از دیدگاه ریاضى، زمینه مساعدى پدید آوردند و در دوره‌اى طولانى علماى علاقه‌مند به راه‌حلهاى جدید ظریف و چشمگیر براى مسئله‌هاى قدیمى پا به عرصه گذاشتند (ربستاك، 1992، ص 218ـ220). درنتیجه، حساب و جبر به صورت دو رشته ریاضى درآمدند كه در حوزه‌هاى آموزش فقه، مسجدها، مدرسه‌ها و خانه‌ها تدریس می‌شدند.

درباره علم فرایض و كاربرد روشهاى حساب و جبر در آن، رساله‌هاى پرشمارى تألیف شده است. الكافى فى الفرائض از اسحاق‌بن یوسف صردفى (متوفى ح 500) كهن‌ترین رساله شناخته شده درباره محاسبه سهم ارث و مسئله‌هاى مرتبط با آن است (بروكلمان، >ذیل <، ج 1، ص 855). بخش عمده این رساله درباره دویست مورد تقسیم ارث است كه مؤلف آنها را از دیدگاه شرعى و براساس ریاضیات تحلیل كرده است. صردفى این موارد را براساس جنبه‌هاى گوناگون، از جمله تعداد و نوع وارثان و نسبت آنها، دسته‌بندى كرده و سپس درباره انواع حالتهاى دشوارى كه پیش می‌آیند بحث كرده است (رجوع کنید به ربستاك، 1992، ص 223ـ230).

در قرن نهم، ابوالحسن علی‌بن محمد قَلَصادى شش شرح بر فرایض طبق فقه مالكى و سه رساله جدید در این موضوع نوشت كه یكى از آنها لباب تقریب المواریث و منتهی‌القول البواحث است (د. اسلام، چاپ دوم، ذیل «قَلَصادى»). وى در این رساله، راه‌حل مسائل ارث را به روشى كه خود آن را «روش كسرها» می‌نامد آموزش داده است. تمركز رساله بر راه‌حلهاى شرعى است و روشهاى ریاضى به عنوان ابزارهاى كمكى معرفى شده‌اند. در مقدمه طولانى اثر، قلصادى مفهومهاى عمده قانون ارث را بررسى كرده و چیزهایى را كه فَرَضى (كسى كه محاسبه تقسیم ارث را انجام می‌دهد) باید از حساب بداند یادآور شده است. بخش عمده رساله قلصادى درباره هشت مبحث ارث است كه در شرایط خاص پیش می‌آیند و بهره‌گیرى از احكام شرعى ویژه را ایجاب می‌كنند (رجوع کنید به ربستاك، 1992، ص 231ـ 246).

مسئله دیگرى كه دیوانیان به آن می‌پرداختند محاسبه زكات بود. ریاضی‌دانانى چون خوارزمى و عالمان دینى چون ابومنصور بغدادى، در كتابهاى خود چند مثال در این موضوع آورده‌اند (رجوع کنید به برگرن، 1986، ص 65ـ67).

---

منابع :
(1) ابن‌سینا، الالهیات من كتاب الشفاء، چاپ حسن حسن‌زاده آملى، قم 1376ش؛
(2) همو، دانش‌نامه علائى، چاپ احمد خراسانى، تهران 1360ش؛
(3) ابن‌ندیم (تهران)؛
(4) اخوان‌الصفا، رسائل اخوان‌الصفاء و خلّان الوفاء، چاپ عارف تامر، بیروت 1415/1995؛
(5) محمدطاهر تنكابنى، كتب درسى قدیم، چاپ ایرج افشار، در فرهنگ ایران زمین، ج 20 (1353ش)؛
(6) عمروبن بحر جاحظ، رسائل‌الجاحظ: الرسائل الادبیة، بیروت 2004؛
(7) محمدبن احمد خوارزمى، مفاتیح‌العلوم، چاپ ابراهیم ابیارى، بیروت 1404/1984؛
(8) محمدبن موسى خوارزمى، كتاب الوصایا، در كتاب جبر و مقابله، ترجمه حسین خدیوجم، تهران 1363ش؛
(9) عمربن ابراهیم خیام، رسالة فى شرح مااشكل من مصادرات كتاب اقلیدس، چاپ تقى ارانى، تهران 1314ش؛
(10) همو، مقالة فى الجبر و المقابلة، ترجمه فارسى: رساله‌ى جبر خیام، در حكیم عمرخیام بعنوان عالم جبر، چاپ (و ترجمه) غلامحسین مصاحب، تهران: انجمن آثار ملى، 1339ش؛
(11) صالح ذكى، آثار باقیه، استانبول 1329؛
(12) سموأل‌بن یحیى مغربى، الباهر فی‌الجبر، چاپ رشدى راشد و صلاح احمد، دمشق 1392/1972؛
(13) شعیابن فریغون، جوامع العلوم، چاپ عكسى از نسخه خطى كتابخانه طوپقاپی‌سراى استانبول، مجموعه احمد ثالث، ش 2768، فرانكفورت 1405/1985؛
(14) محمدبن یحیى صولى، ادب‌الكتّاب، چاپ محمد بهجة اثرى، قاهره [? 1341[، چاپ افست بیروت (بی‌تا.)؛
(15) محمدبن محمد غزالى، احیاء علوم‌الدین، قاهره: داراحیاء الكتب العربیة، (بی‌تا.)؛
(16) غیاث‌الدین جمشید كاشانى، مفتاح‌الحساب، چاپ نادر نابلسى، دمشق 1397/1977؛
(17) محمدبن محمد فارابى، ترجمه احصاءالعلوم، ترجمه حسین خدیوجم، تهران 1348ش؛
(18) ابوالقاسم قربانى، تحقیقى در آثار ریاضى ابوریحان بیرونى: تحریرى نوین از بیرونی‌نامه، تهران 1374ش؛
(19) همو، زندگینامه ریاضیدانان دوره اسلامى: از سده سوم تا سده یازدهم هجرى، تهران 1365ش؛
(20) همو، كاشانی‌نامه: احوال و آثار غیاث‌الدین جمشید كاشانى، تهران 1368ش؛
(21) علی‌بن محمد قَلَصادى، شرح تلخیص اعمال الحساب، چاپ فارس بنطالب، بیروت 1999؛
(22) قلقشندى؛
(23) یعقوب‌بن اسحاق كندى، رسائل الكندى الفلسفیة، چاپ محمدعبدالهادى ابوریده، قاهره 1369ـ 1372/ 1950ـ1953؛
(24) كوشیاربن لبّان، اصول حساب هندى، ترجمه محمد باقرى، تهران 1366ش؛


(25) M. Bagheri, "Siyaqat accounting: its origin, history, and principles", Acta Orientalia Academiae Scientiarum Hungaricae, vol. 51, no. 3 (1998);
(26) J.L. Berggren, Episodes in the mathematics of medieval Islam, NewYork 1986;
(27) idem, "Innovation and tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's al-Mu`adalat", Journal of the American Oriental Society, 110 (1990);
(28) Carl Brockelmann, Geschichte der arabischen Litteratur, Leiden 1943-1949, Supplementband, 1937- 1942;
(29) George S. Colin, "De l’origine grecque des ‘chiffres de Fes’ et de nos ‘chiffres arabes’", Journal asiatique, 1933;
(30) Pascal Crozet, "Aritmetica", in Storia della scienza,vol. 3, ed. Sandro Petruccioli, Rome Istituto della Enciclopedia Italiana, 2001-2;
(31) Amador Diaz Garcia, "Zimam Andalusi Levantino", in Homenaje al professor Jose Moria Forneas Besteiro, Granada: Universidad de Granada, 1995;
(32) Ahmed Djebbar, L'analyse combinatoire au Maghreb: l'exemple d'Ibn Munim (XIIe-XIIIe siecles), Paris 1985;
(33) Encyclopaedia Judaica, Jerusalem 1978-1982, s.v. "Dunash ibn Tamim" (by Georges Vajda);
(34) EI2, s.vv. "Al-Kalasadi" (by M.Souissi), "Siyakat" (by C.J. Heywood);
(35) Encyclopaedia of the history of sciencee, technology, and medicine in non-western cultures, ed. Helaine Seline, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997, s.v. "Ibn Yasamin" (by Ahmed Djebbar);
(36) Adolf Grohmann, Arabic papyri in the Egyptian library, vol. 2, Cairo 1956;
(37) Jan P. Hogendijk, "Sharaf al-Din al-Tusi on the number of positive roots of cubic equations", Historia Mathematica, 16 (1989);
(38) Khalil Jaouiche, "The interpretation of the algebra of Sharaf al-Din al-Tusi", Annals of science, 46 (1898);
(39) Muhammad b. Musa Khawrazmi, Die alteste lateinische Schrift uber das indische Rechnen nach al- Hwarizmi, ed. Menso Folkerts, Munchen1997;
(40) A.V.Kremer, Uber das Einnahmebudget des abbasiden-Reiches vom Jahre 306 H. (918-919), Wien 1887;
(41) Paul Kunitzsch, "The transmission of Hindu-Arabic numerals reconsidered", in The enterprise of science in Islam: new perspectives, ed. Jan P. Hogendijk and Abdelhamid I. Sebra, Cambridge, Mass: MIT Press, 2003;
(42) Galina P. Matvievskaya and Boris Rozenfeld, Matematiki i astronomi musulmanskogo srednevekovia i ikh trudi (VIIIth-XVIIth cent), Moscow 1983;
(43) Roshdi Rashed, "Algebra", in Encyclopedia of the history of Arabic science, ed. Roshdi Rashed, vol. 2, London: Routledge, 1996;
(44) Ulrich Rebstock, "The ‘Kitab al-Hindi’ of as-Sardafi", Zeitschrift fur Geschichte der Arabisch- Islamischen Wissenschaft, 13 (1999-2000);
(45) idem, Rechnen im islamischen Orient: die Literarischen spuren der praktischen Rechenkunst, Darmstadt 1992;
(46) Ahmed Salim Saidan, The arithmetic of al-Uqlidisi, Dordrecht 1978;
(47) Fuat Sezgin, Geschichte des arabischen Schrifttums, Leiden 1967- .

/ سونیا برنتیس /

تصاویر این مدخل:
شکل ارقام هندی در نسخه ویکیلیانوس(کتابت 365/976 ) منبع:www.antoniothiery.it 2.feb.feb.2009
صفحه ای از نسخه حساب کوشیار درباره تقسیم در پایه شصتگانی منبع : نسخه خطی (شماره 3/4060) ، کتابخانه آیت الله مرعشی نجفی ، قم
جدول ضرایب بسط دو جمله ای از کرجی منبع: سموال بن یحیی بن مغربی ، الباهر فی الجبر ، چاپ رشدی راشد و صلاح احمد ، دمشق 1392/1972
استخراج ریشه پنجم در مفتاح الحساب کاشانی منبع: نسخه خطی شماره 3180 ،گ 17پ ،کتابخانه ملی ملک