تضعیف مکعب ، یکی از سه مسئلة هندسی مشهور در یونان باستان (دو مسئلة دیگر: تثلیث زاویه * ، تربیع دایره * )

و مسئله ای مهم در ریاضیات دورة اسلامی . موضوع این

مسئله ، ساختن مکعبی با حجم دو برابر مکعب مفروض

دیگر است که نخستین بار پیش از سال 450 ق م مطرح

شد. بر اساس افسانه هایی این مسئله منشأ دینی دارد: ساختن محرابی با حجم دو برابر محراب مفروضِ دیگر چنانکه

شکل هر دو محراب یکسان (مثلاً هر دو مکعب ) باشد. تعبیر جبری این مسئله آن است که ریشة سومِ (کعب ) عدد 2 (یعنی 2 ¡ 3 ) را به دست آوریم (کلاین ، ص 764). بقراط (ح 450 ق م ) این مسئله را به صورت درج دو واسطة تناسب میان دو مقدارِ (یا دو پاره خط ) معلوم a و b مطرح کرد: yb ax = xy = . ریاضی دانان یونانی پس از او مسئله را به این صورت حل کردند که اگر در این معادله ، a 2 = b باشد، خواهیم داشت : 3 a 2 = 3 x . اگر از دو طرف این معادله ، ریشة سوم بگیریم ، x ضلع

مکعبی است که حجم آن دو برابر حجم مکعب دیگر با ضلع

مفروض a است .

در قرن چهارم پیش از میلاد و پس از آن ، بسیاری از هندسه دانان یونانی ، حالتهای گوناگون واسطه های تناسب میان دو خط معلوم را بررسی کردند. در اینجا فهرستی از هندسه دانان و روشهای آنان برای حل این مسئله آمده است (برای جزئیات رجوع کنید به هیث ، ج 1، ص 244ـ270): ارخوطس تاراسی (نیمة نخست قرن چهارم پیش از میلاد) با تقاطع یک استوانه و مخروطی قائم و یک چنبره ، راه حلی ترسیمی برای مسئله عرضه کرد. در کتاب معرفة مساحة الاشکال بنوموسی (قرن سوم )، این راه حل به منلائوس / مانالاوس نسبت داده شده است (قربانی ، ص 150). منایخموس (ح 350 ق م ) از تقاطع یک سهمی و یک هذلولی راه حل هندسی تازه ای برای مسئله به دست آورد. توضیح روش او با روابط جبری ساده است : اگر هذلولی با معادلة xy = ab یا yb ax = و سهمی با معادلة

bx = 2 y را در نظر بگیریم ، معادلة نقطة تلاقی آنها عبارت است از: b y = y x = x a .

راه حلی بر پایة استفاده از مجموعة چند خط کش به افلاطون (427ـ347 ق م ) منسوب است که درست نیست ، زیرا افلاطون (در حل مسائل ) از به کارگیری چنین ابزارهایی متنفر بود. راه حل مکانیکی دیگری به اراتستن (قرن سوم پیش از میلاد)

منسوب است . دیوکلس (قرن اول پیش از میلاد) در یکی از کتابهای خود با عنوان > در بارة آیینه های سوزان < راه حلی

با استفاده از تقاطع دو سهمی مطرح کرد. معادله های این دو سهمی با نمادگذاری امروزی چنین است : ay = 2 x و bx = 2 y . او با استفاده از نوعی منحنی به نام «پیچک نما» راه حل جدیدی یافت . نیکومدس (قرن دوم پیش از میلاد) با استفاده از ترسیمهایی به نام «درج » ( رجوع کنید به تثلیث زاویه * ) راه حل دیگری مطرح کرد.

چندین هندسه دان ، از جمله آپولونیوس پرگایی (ح 200 ق م )، مسئله را با تقاطع یک دایره و یک هذلولی حل کردند. ریاضی دانان دورة اسلامی این راه حل را کاملاً می شناخته اند.

اسپوروس و پاپوس (هر دو قرن سوم میلادی ) با استفاده از خط کشی متحرک به راه حل دیگری دست یافتند. بیشتر راه حلهای ریاضی دانان یونانی از طریق تفسیر ائوتوکیوس (در منابع اسلامی : اوطوقیوس ) بر بخش دوم کتاب ارشمیدس با عنوان > در بارة کره و استوانه < به عربی ترجمه شد. بعلاوه ، بعدها راه حلهایی از متنهای یونانی به لاتینی راه یافت . در سده های میانی ، بیشتر ریاضی دانان دورة اسلامی و لاتینی به راه حلهای موجود اکتفا می کردند و راه حل جدیدی ارائه نکردند. فقط مرجوع کنید بهتمن بن هود، حاکم اندلس ، با تلفیق روش منایخموس و روشی که به آپولونیوس نسبت داده می شود، راه حل ترسیمی جدیدی برای یافتن دو واسطة تناسب با استفاده از یک سهمی و یک دایره به دست آورد (هوخندایک ، ص 13ـ 29). در رساله های جبری دورة اسلامی ، راه حلهای هندسی این مسئله تکرار شده است ؛
مثلاً در رسالة فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابلة خیام در بحث حل هندسی معادلة = c 3 x این مطلب دیده می شود (خیام ، ص 209ـ210). برای خیام و ریاضی دانان معاصر او و متأخران ، محاسبة مقدار تقریبی

( c ¡ 3 ) از روش هندسی یافتن ریشة x در معادلة c = 3 x ، که

تنها اهمیت نظری داشت ، جالبتر بود. به گفتة خیام ، ابن هیثم مسئلة یافتن چهار واسطة تناسب 1 x ... 4 x میان دو پاره خط مفروض a و b را حل کرده بوده است (همان ، ص 236). به

بیان جبری ، حل این مسئله هم ارز حل معادلة b 4 = a 5 1 x است . خیام در رسالة فی البراهین (ص 200) نیز می گوید که حل









عددی (تقریبی ) معادلة = c n x را در رسالة دیگری بیان کرده است . امروزه این اثر در دست نیست (قربانی ، ص 334).

نر چند رسالة عربی در بارة تضعیف مکعب را به انگلیسی ترجمه کرده است ( رجوع کنید به ص 251ـ372).

در قرن یازدهم / هفدهم ، ریاضی دانان اروپایی به حل

مسئله در حالت کلی علاقه مند شدند. رنه دکارت در کتاب > هندسه < (1047/1637) مسئله را به صورت درج n

واسطة تناسب میان دو پاره خط مفروض a و b مطرح کرد که عبارت بود از یافتن n پاره خط از 1 x تا n x ، بدین صورت :

b n = x n x 1 n- x ... = 2 x 1 x = 1 ax (بوس ، 1981، ص 309). دکارت حل این مسئله را با به کارگیری منحنیهای جبری و ترسیم آنها بررسی کرد. بدین ترتیب حالت عمومی موضوع به محاسبة ریشه های معادلات جبری (با استفاده از منحنیها) مربوط شد. در 1253/1837 وانتسل ، ریاضی دان اروپایی ، ثابت کرد که مسئله با خط کش و پرگار حل شدنی نیست .

---

منابع :
(1) عمربن ابراهیم خیام ، دانشنامة خیّامی : مجموعة رسائل علمی ، فلسفی و ادبی ، چاپ رحیم رضازاده ملک : رسالة فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابلة ، تهران 1377 ش ؛
(2) ابوالقاسم قربانی ، زندگینامة ریاضیدانان دورة اسلامی : از سدة سوم تا سدة یازدهم هجری ، تهران 1365ش ؛


(3) Henk J.M. Bos, "Arguments on motivation in the riseand decline of a mathematical theory: the `construction of equations', 1637-1750", Archive for history of exact sciences , 30 (1984), 331-380;
(4) idem, "On the representation of curves in Descartes , gإomإtrie", Archive for history of exact sciences , 24 (1981);
(5) Thomas Heath, A history of Greek mathematics , New York 1981;
(6) Jan P. Hogendijk, "Four constructions of two mean proportionals between two lines in the Book of Perfection ) Istikma ¦ l ) of al-Mu'taman", Journal for the history of Arabic science , 10 (1992-1994);
(7) Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times , New York 1972;
(8) Wilbur R. Knorr, Textual studies in ancient and medieval geometry , Boston 1989.

/ یان . پ . هوخندایک /