responsiveMenu
صيغة PDF شهادة الفهرست
   ««الصفحة الأولى    «الصفحة السابقة
   الجزء :
الصفحة التالیة»    الصفحة الأخيرة»»   
   ««اول    «قبلی
   الجزء :
بعدی»    آخر»»   
اسم الکتاب : دانشنامه جهان اسلام المؤلف : بنیاد دائرة المعارف اسلامی    الجزء : 1  صفحة : 3274

 

تثلیث زاویه ، مسئلة تقسیم زاویه ای مفروض به سه بخش مساوی که یکی از سه مسئلة مشهور هندسة یونان باستان بود (دو مسئلة دیگر: تضعیف مکعب * و تربیع دایره * ). اقلیدس در حدود 300 ق م ، در قضیة 10 مقالة اول اصول نحوة تقسیم زاویة مفروضی را به دو بخش مساوی با خط کش و پرگار نشان داد. پیر ل . وانتسل (1814ـ 1848) ریاضیدان اروپایی ، در 1837 با استفاده از نظریة معادله های جبری ثابت کرد که تثلیث زاویه با خط کش و پرگار در حالت کلی ناممکن است (کلاین ، ص 764) اما بعضی زاویه های خاص ، مثلاً زاویة °90، را می توان با خط کش و پرگار تثلیث کرد.

در قرن دوم یا سوم ق م ، هندسه دانان یونان روشهایی برای تثلیث زاویه از راههای دیگر یافتند ( رجوع کنید به هیث ، ج 1، ص 235ـ 244). یکی از راههای تثلیث ابداعی یونانیان را می توان از روی کتاب مأخوذات منسوب به ارشمیدس ، که تنها ترجمة عربی دورة اسلامی آن به جا مانده است ، بازیافت (شکل 1). دایره ای به مرکز C می کشیم و فرض می کنیم که تثلیث زاویة PCA با نقطه های P و A روی دایره مطلوب است . از نقطة A قطر AB را می کشیم و آن را از طرف B امتداد می دهیم . اکنون پاره خط QR برابر با شعاع دایره را بین لبة بیرونی دایره و امتداد قطر چنان درج می کنیم که نقطة Q روی دایره بین P و B باشد و نقطة P بر راستای RQ واقع شود. اکنون زاویة QCR یک سوم زاویة PCA است . این ترسیم نمونه ای از ترسیمهای موسوم به «درج » در هندسة یونان است . درج یعنی قراردادن پاره خطی راست ، به طول مفروض ، بین دو منحنی مفروض چنانکه این پاره خط یا راستای آن از نقطة مفروضی بگذرد. برخی هندسه دانان یونان (مانند ارشمیدس ) این شیوة ترسیم را بدون توجیه اضافی می پذیرفتند.

سایر هندسه دانان یونان کاربرد مقطعهای مخروطی را ترجیح می دادند. دو روش تثلیث زاویه با دایره و هذلولی در مجموعة پاپوس اسکندرانی * به جا مانده است . ترجمة عربی یکی از این روشها در نوشته های بنوموسی * و ثابت بن قرّه * آمده است . ابوسهل کوهی در قرن چهارم روش بسیار ساده ای برای تثلیث زاویه ابداع کرد. این روش را احمدبن محمدبن عبدالجلیل سِجزی بنادرست از آنِ خود خوانده است (برای متنهای عربی در بارة تثلیث رجوع کنید به نور ، ص 267ـ309 و برای چاپ عکسی این نسخه ها رجوع کنید به همان ، ص 358ـ363 ،370؛ برای روش ابوسهل کوهی رجوع کنید به صاییلی ، ص 693ـ700).

در روش ابوسهل کوهی فرض می شود که می خواهیم زاویة ACB را تثلیث کنیم (شکل 2). دایره ای به مرکز C و شعاع دلخواه می کشیم و فرض می کنیم که A و B روی این دایره واقع اند. BC را امتداد می دهیم تا دایره را در D قطع کند و وسط CD را M می نامیم . سپس هذلولی متساوی الساقین به مرکز M و گذرنده از C را چنان می کشیم که خط AC بر آن مماس باشد. این هذلولی ، دایره را در نقطة E بین A و B قطع خواهد کرد.

اکنون زاویة EDB یک سوم زاویة ACB است . برهان : EF را به موازات AC می کشیم تا BC را در F قطع کند و EC را رسم می کنیم . چون E روی هذلولی است (بنابه قضیة 12 مقالة اول مخروطات آپولونیوسِ پرگایی * ) = FC.FD 2 EF ، پس متشابه اند، بنابراین EDC â EDF = â CEF = â . چون E روی دایره است ، EC = CD ، پس EDC â CED = â . بنابر این EDC â 3 EDF = â FED + â EFB = â ACB = â .

این فرض ابوسهل کوهی که می توان هذلولی فوق را رسم کرد مبتنی است بر نظریة مذکور در پایان مقالة اول مخروطات آپولونیوس پرگایی (200 ق م ) که در قرن سوم به عربی ترجمه شد. آپولونیوس در آنجا ترسیم مخروطی سه بُعدی را تشریح کرده که صفحه را در مقطع مخروطی مطلوب قطع می کند. ابوسهل کوهی رساله ای دارد دربارة نوع خاصی پرگار که با آن می توان این نوع ترسیم را انجام داد. شاهدی برای این که این پرگار کامل (البرکارالتام ) عملاً به کار می رفته است ، موجود نیست . در عهد ابوسهل کوهی ، تثلیث زاویه تنها اهمیت نظری داشت . وقتی ارتباط تثلیث زاویه با مسئلة محاسبة سینوس ْ1، که در جدولهای مثلثاتی کمّیتی بنیادی است ، معلوم شد این وضع تغییر کرد. اگر زاویة a را بتوان با خط کش و پرگار رسم

کرد، همواره می توان سینوس a را به کمک جذرگیری با دقت دلخواه محاسبه کرد. به این ترتیب ، مثلاً می توان سینوس ْ3 را محاسبه کرد.

غیاث الدین جمشید کاشانی در رسالة وَتَر و جَیْب که باقی نمانده ولی به صورت شرحهایی که بعداً بر آن نوشته اند در دست است ، نشان داده است که تثلیث هر زاویة مفروض را می توان به مسئلة حل معادلة درجة سوم px = q + 3 x که در آن p و q کمّیتهای مثبت معلومی هستند تحویل کرد ( رجوع کنید بهقاضی زادة رومی ، ص 44). او روشی مبتنی بر تکرار برای یافتن x (ریشة معادله ) ابداع کرد. در مورد تثلیث زاویة ْ3 ، این روش یک رشته تقریبهای سریعاً همگرا برای سینوس ْ1 عرضه می کند. وی سپس مقدار دقیق سینوس ْ1 را به عنوان مبنای جدول سینوس جدیدی به کار برد (یوشکویچ ، ص 319ـ323).

بیرونی در مقالة سوم قانون مسعودی به بررسی ضلع نُه ضلعی منتظم در دایره ای به شعاع معلوم پرداخته است تا وتر ْ40 یا، به عبارت دیگر، دو برابر سینوس ْ20 را محاسبه کند (ج 1، ص 286ـ291). او نشان داده که این مقدار را در صورت حل هریک از دو معادلة x 3 + 1 = 3 x یا x 3 = 1 + 3 x نیز می توان یافت ، و تقریبی برای جواب معادله یافته است که به کمک آن سینوس ْ20 با دقت 7 رقم دهدهی محاسبه می شود (شوی ، ص 78ـ82). این مسئله معادل است با تثلیث زاویة ْ60 (یوشکویچ ، ص 311).

در ریاضیات اروپا، تثلیث بار دیگر در آثار فرانسوا ویت دیده می شود. او از تثلیث برای حل معادلة درجة سوم px = q + 3 x استفاده کرده است . روش جبری منجر به اعداد مختلط می شود که ویت از آن پرهیز داشت (کلاین ، ص 266ـ272).


منابع :
(1) محمدبن احمد ابوریحان بیرونی ، کتاب القانون المسعودی ، حیدرآباد دکن 1373ـ 1375/ 1954ـ1956؛
(2) موسی بن محمود قاضی زادة رومی ، شرح چغمینی ، همراه با رسالة فی استخراج جیب الدرجة الواحدة علی التحقیق الحقیق استخرجه افضل المهندسین غیاث الدین جمشید القاسانی ، چاپ سنگی تهران 1286؛


(3) Thomas L. Heath, A history of Greek mathematics , New York 1981;
A. P. Juschkewitsch, Geschichte

der Mathematik im Mittelalter (ترجمه از متن روسی ) ,

(4) Leipzig 1964;
Morris Kline, Mathematical thought

(5) from ancient to modern times , New York 1972;
Wilbur

(6) R. Knorr, Textual studies in ancient and medieval geometry , Boston 1989;
Ayd ân Say âl â, "The trisection of the angle by Abu ¦Sahl Waijan ibn Rustam al-Ku ¦h ¦â"

(7) با ترجمة ترکی و انگلیسی ) (متن عربی همراه , Belleten , XXVI (1962);
(8) Carl Schoy, Die Trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen... al-B i ¦ru ¦n i ¦, Hannover 1927.

/ ی . پ . هوخندایک /



اسم الکتاب : دانشنامه جهان اسلام المؤلف : بنیاد دائرة المعارف اسلامی    الجزء : 1  صفحة : 3274
   ««الصفحة الأولى    «الصفحة السابقة
   الجزء :
الصفحة التالیة»    الصفحة الأخيرة»»   
   ««اول    «قبلی
   الجزء :
بعدی»    آخر»»   
صيغة PDF شهادة الفهرست