استلزام

استلزام \ estelzām\ ، رابطه‌ای منطقی میان دو گزاره به طوری که صدق گزارۀ نخست صدق گزارۀ دوم را ایجاب کند. در منطق سنتی استلزام یکی از 6 رابطه‌ای است که ممکن است میان دو گزاره وجود داشته باشد. مثلاً از دیدگاه منطق سنتی، میان گزاره‌های کلی و وجودی رابطۀ استلزام برقرار است، یعنی هر گزارۀ کلی مستلزم یک گزارۀ وجودی است. به عبارت دیگر، گزاره‌ای کلی چون (x)Fx (یعنی هر xی خاصیت F دارد) مستلزم گزارۀ وجودی (∃x) Fx است (یعنی بعضی x ها خاصیت F دارند). بنابراین، در منطق سنتی، گزاره‌ای چون «همۀ ایرانیها آسیایی‌اند» مستلزم این گزاره است که «بعضی ایرانیها آسیایی‌اند».
در منطق جدید شمار روابط ممکن میان گزاره‌ها به 16 می‌رسد و ملاکهای دقیق‌تری برای استلزام به‌دست داده شده است. براساس این ملاکها، استلزامی که در بالا از آن یاد کردیم، همواره معتبر نیست، یعنی میان گزاره‌ای کلی چون(Fx→Gx)(x) و گزاره‌ای وجودی چون (∃x) (Fx ∧ Gx) رابطۀ استلزام برقرار نیست، مثلاً از گزارۀ «هر حیوان چهار سری 8 چشم دارد»، نمی‌توان نتیجه گرفت که «حیوانی هست که 4 سر و 8 چشم دارد». در منطق جدید، استلزام به این صورت تعریف می‌شود: رابطۀ میان دو گزارۀ A و B را استلزام، و A را مستلزمِ B می‌گوییم، هرگاه امکان نداشته باشد که A صادق، و B کاذب باشد. این تعریف را به این صورت هم می‌توان نوشت که میان دو گزارۀ A و B رابطۀ استلزام برقرار است، هرگاه ترکیب شرطی A→B (می‌خوانیم: اگر A، آنگاه B)، مستقل از ارزش اجزائش، همواره ارزش صدق داشته باشد.
مثلاً اگر A را گزارۀ «حسن سی ساله و متأهل است» و B را گزارۀ «حسن سی ساله است» بگیریم، میان این دو گزاره رابطۀ استلزام برقرار است (زیرا ممکن نیست که حسن سی ساله و متأهل باشد، اما سی ساله نباشد). چنان‌که می‌بینیم، گزارۀ A در این مثال ترکیب عطفی دو گزاره است که عبارت‌اند از «حسن سی ساله است» و «حسن متأهل است». اگر این دو گزاره را به P و Q نشان دهیم، گزارۀ A به صورت P∧Q (می‌خوانیم: P و Q) و رابطۀ استلزام میان A و B به صورت ترکیب شرطی P∧Q→P درمی‌آید. با استفاده از روش جدول ارزش می‌توان نشان داد که ارزش P و Q هرچه باشد، این ترکیب شرطی همواره صادق است (یا ارزش صدق دارد). چنان‌که در این مثال می‌بینیم، در حالت کلی هریک از گزاره‌های A و B از گزاره‌های ساده‌تری ساخته می‌شوند.

استلزام معکوس

چنانچه دو گزاره طوری باشند که صدق گزارۀ دوم صدق گزارۀ نخست را ایجاب کند، رابطۀ میان دو گزاره را استلزام معکوس می‌گویند. به زبان صوری، گزارۀ A مستلزم معکوس‌گزارۀ B است، هرگاه B→A همواره صادق باشد.

استلزام متقابل

هرگاه هریک از گزاره‌های A و B مستلزم دیگری باشد، رابطۀ میان دو گزاره را استلزام متقابل یا هم‌ارزشی می‌گویند. به عبارت دیگر، دو گزارۀ A و B مستلزم متقابل‌اند، هرگاه هریک از ترکیبهای شرطی A→B و B→A همواره صادق باشد. رابطۀ استلزام متقابل را به A↔B نمایش می‌دهند.

ترکیب شرطی و استلزام

واژۀ استلزام در زبان معمولی به معانی دیگر و گسترده‌تری هم به‌کار می‌رود که بحث دربارۀ آنها به «معناشناسی» یا «دلالت‌شناسی» زبان معمولی مربوط می‌شود؛ مثلاً وقتی کسی می‌گوید که «دیشب اصلاً نخوابیدم»، ما معمولاً از گفتۀ او چنین استنباط می‌کنیم که پریشب و شبهای پیش از آن، خوابیده بوده است، یعنی میان دیشب نخوابیدن او و خوابیدن او در شبهای پیش از آن، نوعی رابطه استنباط می‌کنیم که گاه از آن به استلزام تعبیر می‌شود. اما این‌گونه استلزام با استلزام منطقی متفاوت است، زیرا منطقاً ممکن است که این شخص پریشب یا شبهای پیش از آن هم به دلیلی خوابش نبرده باشد.
واژۀ استلزام معمولاً دربارۀ گزاره‌های شرطی هم به کار می‌رود. وقتی کسی می‌گوید: «اگر بهروز فردا به خانۀ من بیاید، کتابش را به او پس می‌دهم»، معمولاً چنین تصور می‌شود که در این عبارت، «شرط جمله» (که در منطق، «مقدّم» نامیده می‌شود)، یعنی آمدن بهروز به خانۀ آن شخص، مستلزِمِ «جزای شرط» (که در منطق، «تالی» نامیده می‌شود)، یعنی پس‌دادن کتابش به اوست. اما منطق‌دانان استفاده از واژۀ استلزام را در این‌گونه موارد درست نمی‌دانند، زیرا اگر جمله‌های «فردا بهروز به خانۀ من می‌آید» را با P، و «کتاب بهروز را به او پس‌می‌دهم» را با Q نشان دهیم، این جملۀ شرطی را می‌توان با ترکیب شرطی P→Q نشان داد. اما این ترکیب شرطی همیشه صادق نیست، زیرا ممکن است که مقدم آن صادق، اما تالی آن کاذب باشد، یعنی بهروز فردا به خانۀ من بیاید، اما من کتابش را به او پس ندهم. از این‌رو، منطق‌دانان برای متمایزکردن استلزام به معنای دقیق آن، که همواره ارزش صدق دارد، از گزارۀ شرطی، که ممکن است صادق یا کاذب باشد، غالباً استلزام به معنای دقیق را «استلزام صوری» یا «استلزام اکید»، و رابطه‌ای را که با گزارۀ شرطی بیان می‌شود، «استلزام مادّی» می‌گویند. پس می‌توان گفت که متناظر با هر استلزام اکید، یک ترکیب شرطی وجود دارد، اما هر ترکیب شرطی بر استلزام دلالت نمی‌کند.

استلزام و استنتاج

در استنتاج درست منطقی ممکن نیست که مقدمات صادق باشند، اما نتیجه کاذب باشد؛ بنابراین، میان مقدمات و نتیجۀ استنتاج رابطۀ استلزام صوری یا اکید برقرار است. اگر مجموعۀ مقدمات استنتاج را به A، و نتیجه را به B نمایش دهیم، رابطۀ میان مقدمات و نتیجه را به صورت A ⊢ B نمایش می‌دهند.

پارادوکسهای استلزام

کاربرد مفهوم استلزام، به صورتی که در منطق تعریف می‌شود، در استدلالهای معمولی گاه به نتایجی می‌انجامد که دست‌کم در نگاه نخست، خلاف عرف می‌نمایند. این‌گونه احکام را پارادوکسهای استلزام می‌گویند.

پارادوکس نخست

در منطق ثابت می‌شود که استنتاجی به صورتِ
(1) P ⊢ Q→P
معتبر است، یعنی ممکن نیست که مقدمۀ آن صادق، و نتیجۀ آن کاذب باشد. ترکیب شرطی متناظر با این استنتاج به صورتِ
(2) (Q→P) P→
نوشته می‌شود. اکنون اگر در رابطۀ (2)، P را نشانۀ گزارۀ «فردا علی به خانۀ من می‌آید»، و Q را نشانۀ «فردا هوا خوب است» بگیریم، رابطۀ (2) به این صورت درمی‌آید:
(3) اگر فردا علی به خانۀ من بیاید، آنگاه اگر فردا هوا خوب باشد، آنگاه فردا علی به خانۀ من می‌آید؛
که از لحاظ شهود زبانی ما حکم نادرستی نیست، اما عجیب است. عجیب‌تر آنکه اگر Q را نشانۀ «فردا هوا بسیار بد است» بگیریم، رابطۀ (2) به این صورت درمی‌آید:
(4) اگر فردا علی به خانۀ من بیاید، آنگاه اگر فردا هوا بسیار بد باشد، آنگاه فردا علی به خانۀ من می‌آید؛
که از لحاظ شهود زبانی ما چندان پذیرفتنی نمی‌نماید، زیرا معمولاً چنین می‌اندیشیم که وقتی هوا بسیار بد باشد، قاعدتاً اشخاص به خانۀ دوستانشان نمی‌روند.
اگر Q را گزارۀ دیگری چون «ایران در آسیا واقع است»، یا «ایران در آسیا واقع نیست» بگیریم، از رابطۀ (2) می‌توان ترکیبهای شرطی دیگری به‌دست آورد، چون:
(5) اگر فردا علی به خانۀ من بیاید، آنگاه اگر ایران در آسیا واقع باشد، آنگاه فردا علی به خانۀ من می‌آید؛
(6) اگر فردا علی به خانۀ من بیاید، آنگاه اگر ایران در آسیا واقع نباشد، آنگاه فردا علی به خانۀ من می‌آید؛
که از لحاظ شهود زبانی ما بسیار غریب‌تر از گزاره‌های (3) و (4) می‌نمایند، زیرا ما معمولاً میان آمدن دوستان به خانه‌مان و موقعیت جغرافیایی ایران رابطه‌ای نمی‌بینیم. در واقع نیز گزاره‌های (3) تا (6) چیزی جز این مطلب را بیان نمی‌کنند که «در هر صورت فردا علی به خانۀ من خواهد آمد». به عبارت دیگر، در این‌گونه گزاره‌های شرطی، آنچه مهم است، مقدم آنهاست، نه تالی آنها. قیدِ «در هر صورت» که در زبان معمولی به‌کار می‌رود، به این معنی است که هر اتفاق دیگری هم بیفتد، فردا علی به خانۀ من می‌آید. این «اتفاق دیگر» در گزارۀ (3) خوب بودن هوا، در گزارۀ (4) بسیار بد بودن هوا، در گزارۀ (5) واقع‌بودن ایران در آسیا، و در گزارۀ (6) واقع‌نبودن ایران در آسیاست. به عبارت دیگر، این‌گونه گزاره‌ها، اگر در زبان معمولی به‌کار بروند، تنها حتمی‌بودنِ وقوعِ مقدم خود را به تأکید بیان می‌کنند.
علت خلاف عرف به نظر آمدنِ این‌گونه گزاره‌ها این است که ما در زبان معمولی، معمولاً برای تأکید بر منظور خود از این نوع ترکیبات منطقی استفاده نمی‌کنیم. با این حال، گاهی برای تأکید از عباراتی استفاده می‌کنیم که چندان با این‌گونه ترکیبات تفاوت ندارند. مثلاً وقتی می‌گوییم «فردا به خانه‌ات می‌آیم، یعنی حتى اگر سنگ هم از آسمان ببارد، به خانه‌ات می‌آیم»، درواقع، عبارتی شبیه گزارۀ (4) به زبان آورده‌ایم و می‌توان گفت که منظور گوینده، به نحو اولى، این است که «فردا به خانه‌ات می‌آیم، یعنی حتى اگر فردا سنگ هم از آسمان نبارد، به خانه‌ات می‌آیم»، هرچند معمولاً کسی به این‌گونه سخن نمی‌گوید. بسیاری از اغراقهای شاعرانه از نوع عبارت (4)اند، مثل این بیت: «از تو ای دوست نگسلم پیوند/ ور به تیغم بُرند بند از بند».
که منظور شاعر از آن تنها تأکید بر این نکته است که به پیمان و پیوند خود سخت پایبند است.

پارادوکس دوم

این پارادوکس به این صورت:
(7) P ⊢ ¬ P→Q
یا به صورت ترکیب شرطیِ
(8) (P→Q ¬) P→
نوشته می‌شود. با انتخاب گزاره‌های مناسب، گزاره‌های زیر را می‌توان نمونه‌هایی از فرمول (8) دانست:
(9) اگر ایران در آسیا باشد، آنگاه اگر ایران در آسیا نباشد، آنگاه خورشید به دور زمین می‌گردد؛ و
(10) اگر ایران در آسیا باشد، آنگاه اگر ایران در آسیا نباشد، آنگاه زمین به دور خورشید می‌گردد؛
که ظاهراً دو مطلب متفاوت را بیان می‌کنند، اما این دو گزاره نیز که قاعدتاً در زبان معمولی به کار نمی‌روند، تنها این امر را بیان می‌کنند که ایران در آسیاست.

مآخذ

موحد، ضیاء، درآمدی به منطق جدید، تهران، 1368ش؛
نیز:

Sanford, D. H., «implication», CDPh.
حسین معصومی همدانی