اعداد، نظریه

اعداد، نظریۀ \nazariy(yy)e-ye aʾdād\، شاخه‌ای از ریاضیات در رابطه با خواص اعداد صحیح مثبت (1، 2، 3، ... ) که گاه «حساب پیشرفته» نامیده می‌شود و از جملۀ قدیمی‌ترین و طبیعی‌ترین گرایشهای ریاضیات است.
نظریۀ اعداد همواره ریاضی‌دانان غیرحرفه‌ای را همانند ریاضی‌دانان حرفه‌ای مجذوب و شیفتۀ خود کرده است. برخلاف سایر شاخه‌های ریاضیات، بیشتر مسائل و قضایای نظریۀ اعداد برای افراد غیرحرفه‌ای نیز قابل فهم است، اگرچه راه حل مسائل و اثبات قضایا اغلب نیازمند پیشینۀ ریاضی پیشرفته‌ای است.
تا اواسط سدۀ 20 م، نظریۀ اعداد غیرکاربردی‌ترین و محض‌ترین شاخۀ ریاضیات تلقی می‌شد، که هیچ کاربرد مستقیمی در دنیای واقعی نداشت. اما ظهور کامپیوتر و ارتباطات دیجیتال نشان داد که این شاخه می‌تواند جوابهای غیرمنتظره‌ای برای مسائل دنیای واقعی ارائه کند. ازجمله می‌توان به پیشرفتهای زیادی در زمینۀ تجزیۀ اعداد بزرگ، تشخیص اعداد اول، آزمون حدسها و پیش‌بینیها، و حل مسائل عددی اشاره نمود، که زمانی دور از دسترس به نظر می‌آمدند.
نظریۀ اعداد مدرن موضوع گسترده‌ای است که به سرفصلهای فرعی متعددی، ازجمله نظریۀ اعداد مقدماتی، نظریۀ اعداد جبری، نظریۀ اعداد تحلیلی، نظریۀ اعداد هندسی و نظریۀ اعداد احتمالی، دسته‌بندی می‌شود. این موضوعها نشان‌دهندۀ روشهایی است که در حل مسائل مربوط به اعداد صحیح به کار می‌رود.

از ماقبل تاریخ تا یونان باستان

توانایی انسان در شمارش اعداد به زمان ماقبل تاریخ بازمی‌گردد. این مطلب باتوجه‌به ‌اشیاء دست‌ساختۀ قدیمی آشکار می‌شود، مثل استخوان 000‘10ساله در منطقۀ کنگو در آفریقا، که روی آن علائمی از چوب‌خط حک شده، و معرف شمردن است. تقریباً هم‌زمان با ظهور تمدن، بشر به مفهوم «تعدد» پی‌برد و نخستین قدمها را در مطالعۀ اعداد برداشت. باتوجه‌به لوحها، تابلوها و کنده‌کاریهای معابد که از فرهنگهای اولیۀ بین‌النهرین، مصر، چین و هند باستان باقی مانده است، مشخص می‌شود که مفهوم عدد در این فرهنگها وجود داشته است. لوحی بابلی، معروف به پلیمپتون 322 (1700 ق‌م)، وجود دارد که در آن به سه‌تاییهای عددی با خاصیت 2= z2+ y2x اشاره شده است. یکی از این سه‌تاییها 2291، 2700 و 3541 می‌باشد که معرف 35412 =27002 +22912 است. مطمئناً این مطلب میزان پیشرفت نظریۀ اعداد را در بابل باستان نشان می‌دهد. باوجود این نتایج پراکنده، یک نظریۀ کلی و عمومی برای نظریۀ اعداد وجود نداشت. به همین دلیل، باید به یونانیان باستان توجه نمود که دستاوردهایشان ترکیبی از گرایشهای عرفانی فیثاغورسی و منطق اقلیدسی بود.

فیثاغورس

فیثاغورس (580-500 ق‌م) در میان شیفتگان خود کار می‌کرد و فلسفۀ او عدد را به‌عنوان مفهومی وحدت‌بخش و مورد نیاز در همۀ موارد، از حرکت سیارات تا هارمونی موسیقی، ارج می‌نهاد. از‌این‌رو، دور از انتظار نیست که فیثاغورسیها به برخی از اعداد خواصی شبه‌معنوی نسبت می‌دادند؛ برای مثال، به اعداد کامل اهمیت زیادی می‌دادند، یعنی اعدادی که مساوی مجموع مقسومٌ‌علیه‌هایشان ‌هستند، مثلاً: 6=3+2+1 و 28=14+7+4+2+1. نیکوماخوس گراسایی، فیلسوف یونانی (اش‌ 100 م)، سده‌ها پس‌ از فیثاغورس، به‌وضوح متأثر از مکتب فلسفی او بود و در نوشته‌هایش از اعداد کامل به‌عنوان مصداقی از خرد، ثروت، اعتدال، درستی و زیبایی یاد می‌کرد. به همین صورت، هرگاه هریک از زوج اعداد صحیح مساوی مجموع مقسومٌ‌علیه‌های دیگری می‌شد، یونانیها آنها را «دوستوار» می‌نامیدند. آنها تنها یک زوج با این خاصیت می‌شناختند: 220 و 284، که به‌راحتی می‌توان دید که مجموع مقسومٌ‌علیه‌های 284 برابر 220=142+71+4+2+1، و مجموع مقسومٌ‌علیه‌های 220 برابر 284=110+55+44+22+20+11+10+5+4+2+1 است. برای کسانی که نسبت به اعداد دیدگاه عرفانی داشتند، این پدیده شبیه جادو بود.

اقلیدس

او نظریۀ اعداد را به زبانی ساده مطرح کرد. اقلیدس کتاب 7 از اصول خود را با تعریف عدد به‌عنوان «یک جمع متشکل از واحدها» شروع کرد. 1 شامل جمع نمی‌شد؛ پس، از نظر او 2 کوچک‌ترین عدد بود. همچنین، عدد اول را به‌عنوان عددی که «فقط با یک واحد شمرده می‌شود» (تنها مقسومٌ‌علیه آن 1 است)، عدد مرکب را به‌عنوان عددی که اول نیست، و عدد کامل را به‌عنوان عددی که برابر مجموع مقسومٌ‌علیه‌های خودش است، تعریف کرد. پس ‌از آن، اقلیدس یک سری از قضایا را اثبات کرد که شروع راه نظریۀ اعداد به‌عنوان یک شاخۀ ریاضی متمایز است. 4 قضیۀ اقلیدس شایستۀ توجه خاصی است.
قضیۀ اول: این قضیه مربوط به روش یافتن بزرگ‌ترین مقسومٌ‌علیه مشترک دو عدد است که امروزه نیز، به افتخار اقلیدس، «الگوریتم اقلیدسی» نامیده می‌شود. براساس آن، بزرگ‌ترین
مقسومٌ‌علیه مشترک دو عدد a و b بزرگ‌ترین عددی است که هر دو عدد را عاد می‌کند، یعنی هر دو عدد بر آن قابل قسمت‌اند. اگر بزرگ‌ترین مقسومٌ‌علیه مشترک دو عدد برابر 1 باشد، دو عدد را نسبت به هم اول گویند و یا اینکه یکی نسبت به دیگری اول گفته می‌شود.
قضیۀ دوم: این قضیه «قضیۀ یکتایی تجزیه» یا «قضیۀ اساسی حساب» نام دارد و چنین بیان می‌کند که هر عدد فقط می‌تواند به یک طریق به حاصل ضرب عوامل اولش تجزیه شود؛ برای مثال، 960‘1=7×7×5×2×2×2 تجزیه‌ای به عوامل اول است و هیچ تجزیۀ مشابه دیگری وجود ندارد. بحث اقلیدس در مورد یکتابودن تجزیه با استانداردهای جدید قابل قبول و کافی نیست، اما اساس آن در قضیۀ 32 از کتاب 7، و قضیۀ 14 از کتاب 9 دیده می‌شود.
قضیۀ سوم: این قضیه نشان می‌دهد که هیچ مجموعۀ متناهی از اعداد اول شامل تمام آنها نیست. بحث اقلیدس در این رابطه که در قضیۀ 20 کتاب 9 آمده، یکی از زیباترین اثباتها در کل ریاضیات است. او با فرض یک مجموعۀ متناهی از اعداد اول، مانند a, b, c, ... , n، عدد 1+(n× ... ×c×b×a)=N را در نظر می‌گیرد. در اینجا دو حالت وجود دارد: 1. اگر N اول باشد، دراین‌صورت عدد اول جدیدی است که در مجموعۀ a, b, ... , n وجود ندارد، زیرا بزرگ‌تر از همۀ آنها ست. برای مثال، اگر اعداد اول مجموعۀ مورد نظر 2، 3 و 7 باشند، 43=1+(7×3×2)=N که عدد اول بزرگ‌تری است. 2. اگر N مرکب باشد، باید عامل اولی داشته باشد که با استدلال اقلیدس، جزو اعداد اول اصلی نیست. برای توضیح، با 2، 7 و 11 شروع می‌کنیم و داریم: 155=1+(11×7×2)=N که مرکب است. اما عوامل اولش، یعنی 5 و 31، در بین اعداد اول دیده نمی‌شوند. در هر دو صورت، مجموعۀ متناهی از اعداد اول همواره قابل افزایش‌دادن است؛ بدین‌ترتیب، با این منطق زیبا می‌توان چنین نتیجه گرفت که مجموعۀ اعداد اول نامتناهی است.
قضیۀ چهارم: اقلیدس کتاب 9 را به این شکل جنجالی پایان داد که اگر جمع سری k2+ ... + 8+4+1 عدد اول باشد، آن‌گاه عدد (k2+ ... +4+2+1)k2= N کامل است. برای مثال، اگر 7=4+2+1، درنتیجه 28=(4+2+1)4 کامل است. دستورالعمل اقلیدس برای اعداد کامل باشکوه‌ترین دستاورد آن زمان بود.

دیوفانتوس

او از جملۀ ریاضی‌دانان برجستۀ یونان و نویسندۀ کتاب «حساب» است. او در این کتاب مسئله‌های زیادی را مطرح می‌کند که یکی از مهم‌ترین آنها معادلۀ دیوفانتوس نامیده شده است. اینها معادلاتی هستند که جواب آنها باید اعداد صحیح باشد. برای مثال، دیوفانتوس به دنبال دو عدد می‌گشت که یکی مربع کامل و دیگری مکعب کامل باشد؛ به‌طوری‌که مجموع مربعات آنها نیز خـود مربع کامل شود. ایـن مطلب بـا نمادگـذاری جدید چنین نوشته می‌شود: 2z=2(3y)+2(2x). پیداکردن اعداد حقیقی که در این معادله صدق کنند، راحت است (برای مثال: 2√=x، 1=y و 5√=z). اما قید صحیح‌بودن اعداد، این مسئله را بسیار مشکل می‌کند (یک جواب 6=x، 3=y و 45=z است). نتیجۀ کار دیوفانتوس به‌شدت در ریاضیات تأثیرگذار بود.

نظریۀ اعداد در شرق

تا هزار سال پس ‌از سقوط رم، هیچ پیشرفت مهمی در اروپا حاصل نشد، اما چینیها و هندیها در حال پیشرفت در نظریۀ اعداد بودند. ریاضی‌دان چینی، سون زی (اش‌ 250 م)، با انگیزه‌ای که از سؤالهای نجومی و تقویمی برایش به وجود آمده بود، معادلات دیوفانتی متعددی را حل کرد. برای مثال، او به دنبال عددی بود که باقی‌ماندۀ تقسیم آن بر 3، عدد 2، بر 5، عدد 3، و بر 7، عدد 2 باشد (جوابی که او به دست آورد، اعداد 23 و 128 بود). تقریباً هزار سال بعد، کین جیوشائو (1202-1261 م) راه حلی عمومی برای حل مسئله‌هایی از این نوع ارائه کرد که امروزه به قضیۀ باقی‌ماندۀ چینی معروف است.
در این مدت، ریاضی‌دانان هندی نیز سخت مشغول کار بودند. در سدۀ 7 م، براهماگوپتا روی مسئله‌ای کار کرد که اکنون (به‌اشتباه) به معادلۀ پل معروف است. او به‌دنبال عدد مربع کاملی بود که اگر آن را در 92 ضرب و با 1 جمع کنند، مربع کامل دیگری شود (2y=1+2x92). براهماگوپتا باور داشت که اگر کسی این مسئله را در مدت کمتر از یک سال حل کند، می‌توان او را به‌حق یک ریاضی‌دان نامید. جواب او 120=x و 1151=y بود.
در این زمان، جهان اسلام تقریباً به مرکز قوی ریاضیات تبدیل شده بود. محققان مسلمان در راههای بازرگانی میان شرق و غرب، کارهای تمدنهای دیگر را یاد می‌گرفتند و به دستاوردهای خود اضافه می‌کردند. برای مثال، ثابت بن قُرّه (سدۀ 3 ق / 9 م) به مسئلۀ اعداد دوستوار پرداخت و دومین زوج را کشف کرد: 296‘ 17 و 416‘18.

نظریۀ اعداد مدرن

با رفتن ریاضیات از جهان اسلام به اروپا، پس ‌از رنسانس، نظریۀ اعداد کمتر مورد توجه قرار گرفت. در بازۀ زمانی 1400 تا 1650 م، غیر از ابداع لگاریتم و هندسۀ تحلیلی، پیشرفتهای زیادی در زمینۀ هندسه، جبر، و احتمالات به وجود آمد. در این دوره، نظریۀ اعداد موضوعی فرعی به حساب می‌آمد و بیشتر جنبۀ سرگرمی داشت.

پیر دو فرما

طرح دوبارۀ نظریۀ اعداد را باید مرهون پیر دو فرما (1601-1665 م)، قاضی و ریاضی‌دان فرانسوی، دانست که علاقۀ زیادی به اعداد داشت. اگرچه او مطالب کمی منتشر ساخت، اما مسائلی را مطرح کرد که در شکل‌گرفتن نظریۀ اعداد مؤثر بود. به‌عنوان مثال: 1. در سال 1640 م، او قضیه‌ای را مطرح کرد که به «قضیۀ کوچک فرما» معروف است. براساس این قضیه، اگر p یک عدد اول و a یک عدد صحیح باشد، آن‌گاه ap-a بر p بخش‌پذیر است. بنابراین، اگر 7=p و 12=a باشد، عدد 7 مقسومٌ‌علیه عدد 796‘831‘35=12-127 است. این قضیه یکی از قدرتمندترین ابزارها در نظریۀ اعداد مدرن است. 2. فرما دو نوع از اعداد اول فرد را بررسی کرد؛ آنهایی که یکی بیشتر از یک مضرب 4 هستند و آنهایی که یکی کمتر هستند، که به‌ترتیب به‌صورت 4+k4 و 4-k4 نمایش داده می‌شوند. ازجملۀ اعداد دستۀ اول 1+1×4=5 و 1+24×4=97، و ازجملۀ اعداد دستۀ دوم 1-1×4=3 و 1-20×4=79 هستند. فرما نشان داد که هر عدد اول به‌صورت 1+k4 را می‌توان فقط و فقط به یک طریق به‌صورت جمع دو مربع کامل نوشت، درحالی‌که اعداد اول به صورت 1-k4 را به هیچ طریقی نمی‌توان به مجموع دو مربع کامل تبدیل کرد. بنابراین، 5=12+22 و 97=42+92 به مجموع هیچ دو مربع کامل دیگری تجزیه‌پذیر نیستند. از طرف دیگر، 3 و 79 را اصولاً نمی‌توان به این شکل تجزیه کرد. این دوگانگی به‌عنوان نقطۀ عطفی در نظریۀ اعداد تلقی می‌شود. 3. در 1638 م، فرما نشان داد که هر عدد صحیح را می‌توان به‌صورت مجموع 4 مربع کامل یا کمتر نوشت. او ادعا کرد که برای این قضیه اثبات دارد، ولی آن را ارائه نکرد. 4. فرما بیان کرد که هیچ مثلث قائم‌الزاویه‌ای وجود ندارد که اضلاع آن، اعداد صحیح و مساحتش مربع کامل ‌باشد. این معادل این است که بگوییم هیچ اعداد صحیح x و y و z و w وجود ندارد که شرط 2z=2y+2x (رابطۀ فیثاغورس) و w2=xy/ 2 در آنها صدق کند. برخلاف همیشه، فرما این قضیه را اثبات کرد. او از تکنیکی به‌نام «نزول نامتناهی» برای اثبات ناممکن‌بودن قضیه استفاده کرد. استراتژی منطقی او با فرض این است که اعدادی صحیح وجود دارند که این شرایط در آنها صادق است و سپس اعداد حسابی کوچک‌تری تولید می‌کنند که این شرط در آنها هم صدق می‌کند. با به کار بردن این استراتژی، فرما یک دنبالۀ نزولی نامتناهی از اعداد حسابی به دست آورد، ولی این غیر قابل قبول است، زیرا برای هر مجموعه از اعداد صحیح مثبت باید یک عضو مینیمم وجود داشته باشد. با استفاده از این تناقض، فرما به این نتیجه رسید که چنین اعدادی وجود ندارند.
دو ادعای دیگر فرما هم قابل توجه است. اول اینکه هر عدد به فرم 1+ 22 باید اول باشد. این قضیه برای 4، 3، 2، 1، 0=n صادق بود که به اعداد اول 3=1+ 22 و 5=1+ 22 و 17=1+ 22 و 257=1+ 22 و 537‘65=1+ 22 منجر می‌شد. متأسفانه بعدها معلوم شد که این قضیه برای 5=n صادق نیست؛ چراکه 297‘967‘294‘4=1+ 22 اول نیست. ادعای دوم یکی از معروف‌ترین عبارات در تاریخ ریاضیات است. فرما در زمان خواندن کتاب «حساب» دیوفانتوس، در حاشیۀ آن نوشت: «تجزیه‌کردن یک عدد مکعب کامل، یا هر توان دیگری (غیر از توان 2)، به دو عدد با همان توان غیرممکن است»، و اضافه کرد: «من راه حل جالبی برای آن پیدا کرده‌ام، اما حاشیۀ کتاب جایی برای نوشتن آن ندارد».
با نمادگذاری، منظور او چنین بیان می‌شود که به‌ازای 2قضیۀ آخر فرما» معروف است و تا 350 سال بعد، هیچ‌کس موفق به حل آن نشد و به معروف‌ترین مسئلۀ حل‌نشدۀ ریاضی معروف بود.
باوجود نبوغ فرما، نظریۀ اعداد همچنان مورد بی‌مهری قرار گرفت. بی‌میلی فرما برای ارائۀ اثباتهایش قابل سرزنش است، اما شاید ظهور و پیدایش حساب در دهه‌های آخر سدۀ 17 م، زیان‌بخش‌تر بود. حساب مفیدترین ابزار ریاضی است و محققان مشتاقانه از ایده‌های آن در مسائل دنیای واقعی استفاده کردند. در مقایسه با آن، به نظر می‌آمد که نظریۀ اعداد خیلی «محض»، و از دغدغه‌های فیزیک‌دانان، منجمان و مهندسان دور است.

نظریۀ اعداد در سدۀ 18 م

امتیاز و افتخار هدایت‌کردن نظریۀ اعداد به مسیر اصلی خود متعلق به ریاضی‌دان برجستۀ سدۀ 18 م، لئونهارت اویلر (1707-1783 م) است. اویلر پرکارترین ریاضی‌دان در طول تاریخ و یکی از مؤثرترین آنان بوده است. وقتی او توجهش را به نظریۀ اعداد معطوف کرد، دیگر این موضوع مثل قبل کم‌اهمیت نمی‌نمود. در نامه‌ای مورخ 1 دسامبر 1729، یکی از دوستان اویلر به نام کریستیان گُلدباخ (1690-1764 م) از او پرسید: «آیا با فرضیۀ فرما آشنا هستی؟ اینکه همۀ اعداد به فرم 1+ 22 اول هستند؟». این موضوع توجه اویلر را جلب کرد. او درواقع نشان داد که آن فرضیه غلط است، زیرا 1+ 22 را می‌توان به حاصل‌ضرب 641 و 417‘700‘6 تجزیه کرد.
در طول 5 دهه، اویلر بالغ بر 000‘1 صفحه از تحقیقاتش را در زمینۀ نظریۀ اعداد منتشر کرد که بیشتر آنها اثبات فرضیه‌های فرما بود. او در 1736 م، «قضیۀ کوچک فرما»، و تا اواسط سده، یکی دیگر از فرضیه‌های او را اثبات کرد که می‌گفت اعداد اول به‌شکل 1+k4 را می‌توان تنها به یک طریق به‌صورت مجموع دو مربع نوشت. بعدها او اهمیت اعداد کامل را مورد توجه قرار داد و نشان داد که هر عدد کامل باید به‌صورتی نوشته شود که اقلیدس 20 سدۀ پیش کشف کرده بود، و وقتی توجهش به اعداد دوستوار جلب شد که تا آن زمان تنها 3 زوج از آنها شناخته شده بود و او توانست 58 زوج جدید دیگر را نیز اضافه نماید. البته، حتى اویلر هم نمی‌توانست تمام مسائل را حل کند. او اثباتها یا شبه‌اثباتهایی برای «قضیۀ آخر فرما» در مورد توانهای 3=n و 4=n ارائه کرد، اما از یافتن جواب عمومی برای آن ناامید شد. او همچنین ادعای گلدباخ را، که هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 را می‌توان به‌صورت مجموع دو عدد اول نوشت، تأیید کرد که امروزه به حدس گلدباخ معروف است، اما ناتوانی خود را در اثبات آن اذعان داشت.
اویلر به نظریۀ اعداد نوعی مشروعیت ریاضی داد و از‌آن‌پس، پیشرفت و ترقی در این شاخه سرعت گرفت. برای مثال، در 1770 م، ژوزف لویی لاگرانژ (1736-1813 م) این ادعای فرما را اثبات کرد که هر عدد صحیح را می‌توان به‌صورت مجموع 4 مربع کامل یا کمتر نوشت. بعد از آن، او به نتیجۀ زیبایی رسید که به «قضیۀ ویلسون» معروف است؛ براساس این قضیه، p عددی اول است، اگر و فقط اگر عدد 1+]1×2×3× ... ×(2-p)×(1-p)[ را عاد کند.

نظریۀ اعداد در سدۀ 19 م

مقالۀ «شرح ‌و بسط نظریۀ اعداد» که در 1801 م توسط کارل فریدریش گائوس (1777-1855 م) منتشر شد، از اهمیت زیادی برخوردار بود. این مقاله، به‌نوعی، به حکم مقدس تئوری اعداد مبدل شد. گائوس در این مقاله، قبل‌ از اینکه جسورانه به یافته‌های پژوهشی جدید در این زمینه بپردازد، کارهای پیش‌گامان خود را خلاصه و سازمان‌دهی کرد. با توجه به اینکه مسئلۀ تجزیۀ اعداد به عوامل اول، یکی از مهم‌ترین و مفیدترین مسائل در حساب و نظریۀ اعداد است، گائوس اولین اثبات مدرن قضیۀ یکتایی تجزیه را ارائه کرد. او همچنین برای نخستین بار قانون «تقابل درجۀ دوم» را اثبات کرد که قبلاً اویلر هم روی آن کار کرده بود. گائوس برای سرعت‌بخشیدن به کارش، مفهوم هم‌نهشتی اعداد را معرفی کرد؛ او a و b را به m هم‌نهشت خواند، اگر m تفاضل a-b را عاد کند؛ و این به‌صورت (a≡b mod m) نوشته می‌شود؛ برای مثال، 7 mod 4≡39. زمانی‌که این ابداع با نتایجی مثل «قضیۀ کوچک فرما» ترکیب شد، به ابزار مهمی در نظریۀ اعداد تبدیل گردید.

از نظریۀ اعداد کلاسیک تا نظریۀ اعداد تحلیلی

بقیۀ ریاضی‌دانان سدۀ 19 م، به‌دنبال کارهای گائوس، به چالش کشیده شدند. سوفی ژرمن (1776-1831 م) که گفت: «من هیچ‌گاه از فکرکردن در مورد نظریۀ اعداد دست نکشیدم»، کارهای مهمی در مورد «قضیۀ نهایی فرما» انجام داد. نیز، آدرین ماری لژاندر (1752-1833 م) و پتر گوستاو لوژون دیریکله (1805- 1859 م) قضیه را برای 5=n اثبات کردند. آنها نشان دادند که مجموع دو عدد توان پنجم نمی‌تواند عددی با توان 5 شود. در 1847 م، ارنست کومر (1810-1893 م) باز هم پیش‌تر رفت و نشان داد که «قضیۀ نهایی فرما» برای دستۀ بزرگی از نماها (توانها) درست است؛ متأسفانه او نتوانست قانونی استخراج کند که نشان دهد قضیه برای دستۀ بزرگی از توانها نیز اشتباه است. بنابراین، مسئله همچنان بدون حل باقی ماند. دیریکله با اثبات این قضیه که اگر a و b هیچ عامل مشترکی نداشته باشند، آن‌گاه تصاعد حسابی a و b+a و b2+a و b3+a و ... حتماً شامل تعدادی نامتناهی عدد اول است، کار بسیار مهمی انجام داد. همچنین اثبات کرد که تعدادی نامتناهی عدد اول به‌شکل 1+k4 و 1-k4 وجود دارند. اما چیزی که این قضیه را این‌قدر استثنایی کرد، روش دیریکله در اثبات آن بود. او از تکنیکهای حساب برای نتیجه‌گیری در نظریۀ اعداد استفاده کرد و این استراتژیِ تعجب‌آور و هوشمندانه آغاز شاخۀ جدیدی به نام نظریۀ اعداد تحلیلی بود.

قضیۀ عدد اول

یکی از بزرگ‌ترین دستاوردهای ریاضیات در سدۀ 19 م، قضیۀ عدد اول بود. برای شروع بحث، تعدادی از اعداد اول کوچک‌تر یا مساوی n را با (n)π نشان می‌دهیم. بنابراین، 4=(10)π، چون 2، 3، 5، 7 چهار عدد اولی هستند که از 10 بزرگ‌تر نیستند. 9=(25)π و 25=(100)π نیز مفاهیم مشابهی را ارائه می‌دهند. در قدم بعد، نسبت π(n)/ n را در نظر می‌گیریم. عبارت π (10)/ 10 = 0/40 به این معنا ست که 40 درصد اعداد کوچک‌تر یا مساوی 10، اول هستند. این مطلب خیلی واضح است، اما قضیۀ عدد اول، قانونی برای توزیع پراکندگی اعداد اول در میان اعداد ارائه می‌دهد. این قضیه می‌گوید که برای n های بزرگ، نسبت π(n)/ n تقریباً برابر 1/ log n است که log n لگاریتم طبیعی عدد n است. این ارتباط بین اعداد اول و لگاریتم، فوق‌العاده و تعجب‌آور است.

نظریۀ اعداد در سدۀ 20 م

سدۀ 20 م شاهد انفجاری در تحقیقات این شاخه از ریاضیات بود. در این عصر، به‌موازات نظریۀ اعداد کلاسیک و تحلیلی، محققان به تحقیق در زمینه‌های دیگر نظیر نظریۀ اعداد جبری، هندسی، ترکیبی و نیز مفاهیم بسیار انتزاعی‌تر و تکنیکهای پیچیده‌تر پرداختند که موضوع را فراتر از افکار و رؤیاهای فرما به پیش راند. یکی از مؤثرترین افراد از ابتدای سدۀ 20 م نابغه‌ای به نام راما نوجان (1887-1920 م) بود که اثبات کرد تقریباً همۀ اعداد n، در حدود log(log n) فاکتور اول دارند. چهرۀ مشهور نظریۀ اعداد در قرن 20 م، پاول اردوش (1913-1996 م) بود که اثباتی بسیار آسان برای قضیۀ «چبیشف» ارائه کرد، و گفت که برای 2n≥، حتماً عدد اولی بین n و n2 وجود دارد. اردوش در زمینه‌های ترکیبات، تئوری گراف و نظریۀ ابعاد نیز کار می‌کرد و بالغ بر 500‘1 مقاله با همکاری 500 تن از همکارانش در سرتاسر دنیا، منتشر کرد. دو رویداد دیگر در این سده شایان توجه هستند؛ یکی اختراع کامپیوتر الکترونیک که سرعت آن در حل مسائل نظریۀ اعداد به کار آمد. برای مثال، اویلر حدس زده بود که حداقل 4 عدد توان چهارم باید با هم جمع شوند تا برابر یک عدد توان چهارم شود. اما در سال 1988 م، با استفاده از بینش ریاضی و قدرت کامپیوتر، ریاضی‌دانی آمریکایی به نام نوام الکیز، متوجه مثالی شگفت‌انگیز به این صورت شد: 6734‘615‘20=7604‘796‘18+6394‘365‘15+4404‘682‘2؛ مثالی که حدس و گمان اویلر را نقض می‌کرد. چنان‌که دیده می‌شود، عدد حاصل عددی سی‌رقمی است و لذا تعجب‌آور نیست که اویلر متوجه آن نشد. دوم اینکه نظریۀ اعداد جنبۀ کاربردی پیدا کرد و به‌عنوان ابزاری برای طراحی برنامه‌های رمزنگاری درآمد که به‌طور گسترده در کارهای تجاری و اداری استفاده می‌شود. این استفاده برمبنای تجزیۀ اعداد غول‌پیکر به عوامل اول است، به‌گونه‌ای که فقط کاربر نحوۀ انجام آن را می‌داند و کسان دیگر از آن آگاه نیستند. نظریۀ اعداد در 1995 م به اوج پیشرفت خود رسید، زمانی که «قضیۀ نهایی فرما»، توسط فردی انگلیسی به نام اندرو وایلز با دستیاری پاره‌وقت همکار بریتانیایی‌اش، ریچارد تایلر، به اثبات رسید. وایلز در حالی موفق به انجام این کار شد که افراد بسیار زیادی در این راه شکست خورده بودند.

مسائل حل‌نشده

باوجود این پیروزیها، نظریۀ اعداد به‌عنوان سرچشمۀ بسیاری از مسائل حل‌نشده باقی مانده است؛ مسائل گیج‌کننده‌ای که خیلی ساده به نظر می‌رسند؛ برای مثال: آیا عدد فرد کاملی وجود دارد؟ آیا تعداد اعداد اول به فرم 1+2n نامتناهی است؟ آیا تعداد اعداد اول دوقلو نامتناهی است (اعداد اول دوقلو اعداد اولی هستند که اختلافشان 2 است، مثل 5 و 7 یا 41 و 43)؟ آیا حدس گلدباخ درست است؟ این مسائـل همچنان بی‌جـواب مانده‌اند، اگر‌چه هیچ کوتاهی‌ای در تلاش برای حلشان نشده است. ممکن است این مسائل هم مانند «قضیۀ نهایی فرما»، به‌تدریج حل شوند یا شاید تا ابد بی‌جواب بمانند. به‌منظور ایجاد انگیزه برای حل این مسائل و تلاش در زمینه‌های مختلف ریاضیات، مؤسسۀ ریاضیات کِلِی کیمبریج در ماساچوست در سال 2000 م به‌ازای ارائۀ راه حل صحیح، 7 جایزۀ یک میلیون دلاری تعیین نمود.
نظریۀ اعداد، موضوع چالش‌برانگیز و گسترده‌ای است که در عین قدمت بسیارش همچنان تازه مانده است. مسائل این مبحث همواره جذابیت خود را به‌خاطر سهولت، و درعین‌حال دشواری زیبایشان، حفظ خواهند کرد. با این تاریخچۀ پربار و غنی، این شاخه واقعاً شایستۀ نامی است که گائوس بر آن نهاد: «ملکۀ ریاضیات».

مآخذ

Britannica, 2010;
Encarta, 2009.
بخش علوم پایه و مهندسی